Supongo que por explicación no quiere decir una prueba (ya que Griffiths incluye una buena prueba de bajo nivel del teorema en su texto), sino más bien un entorno natural en el que ver este teorema.
Lo que este teorema le dice es que, aunque el espacio de funciones definido en una región (que está limitada por superficies conductoras) forma un espacio vectorial de dimensiones infinitas sobre reales, el espacio de funciones armónicas en realidad forma un espacio dimensional finito sobre reales, donde la dimensión es el número de superficies conductoras. Los vectores de base de este espacio se dan simplemente estableciendo el potencial en todas las superficies conductoras, excepto una, en cero.
Por supuesto, lo anterior describe el caso en el que hay una densidad de carga cero en la región considerada, pero si tuviéramos que introducir una densidad de carga distinta de cero, las diferencias entre las configuraciones de campo permitidas seguirían siendo funciones armónicas correspondientes a la densidad de carga cero, por lo que lo que tendríamos es un espacio afín dimensional finito en lugar de un espacio vectorial. El mismo argumento es válido en el caso en que las superficies delimitadoras no son conductoras, pero tienen algunas distribuciones potenciales predeterminadas sobre ellas. Realmente no hay una diferencia esencial entre todos estos casos, por lo que me limitaré a la densidad de carga cero y al caso de superficies conductoras por simplicidad.
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El teorema de unicidad es en realidad una instancia especial de un resultado más general en geometría diferencial llamado teorema de isomorfismo de Hodge. El teorema se mantiene en múltiples variedades riemannianas compactas, y uno puede plantear legítimamente la objeción de que el electromagnetismo de Maxwell es una teoría definida en el espacio-tiempo, que no es riemanniana (lo que significa que la métrica no es positiva semi-definida) y que el teorema de unicidad puede mantenerse ilimitado. regiones también. Estos pueden resolverse de la siguiente manera. En primer lugar, dado que estamos hablando de electrostática, podemos sacar tiempo de la imagen y trabajar solo con espacio, que es una variedad Riemanniana. En segundo lugar, para que el teorema de unicidad funcione para el caso ilimitado, debemos suponer que los campos eléctricos se caen lo suficientemente rápido a medida que avanzamos hacia el infinito. Esto básicamente significa que podemos agregar un punto en el infinito y hacer que el espacio sea compacto sin introducir ninguna singularidad desagradable. Entonces, esencialmente siempre estamos trabajando con espacios compactos.
Comprender de qué se trata el teorema del isomorfismo de Hodge requiere bastantes requisitos matemáticos previos, por lo que es posible que primero desee ver otra respuesta mía en la que he tratado de proporcionar explicaciones elementales sobre qué son las formas diferenciales y la derivada exterior. La estructura agregada de una métrica nos permite definir una norma positiva semi-definida en el espacio de todas las formas diferenciales (de un rango dado). La idea es que, dado que las formas diferenciales son mapas multilineales totalmente antisimétricos (sobre funciones con valores reales) desde campos vectoriales a funciones con valores reales, un producto interno en los campos vectoriales nos permite definir naturalmente productos internos en formas diferenciales de cierto rango. Esto básicamente significa que dadas dos formas diferenciales de un rango particular, podemos obtener un campo escalar tomando el producto interno en cada punto. Como el múltiple en cuestión es compacto, podemos integrar este campo escalar sobre el múltiple para obtener un número real. De esta manera, se puede definir una norma de valor real en el espacio de todas las formas de un cierto rango.
Una vez que tengamos dicha norma, podemos hablar de adjuntos de operadores que son lineales sobre reales como la derivada exterior [math] \ mathrm d [/ math], cuyo adjunto denotaré por [math] \ mathrm d ^ \ dagger [ /matemáticas]. Las formas en los núcleos de [math] \ mathrm d [/ math] y [math] \ mathrm d ^ \ dagger [/ math] se llaman cerradas y cerradas respectivamente, mientras que las de las imágenes de [math] \ mathrm d [/ math ] y [math] \ mathrm d ^ \ dagger [/ math] se denominan exactos y coexactos respectivamente. Como [math] \ mathrm d ^ 2 [/ math] es idénticamente el mapa cero (debido a que el límite de un límite está vacío), todas las formas exactas están cerradas. Ahora, mientras que el espacio de formas cerradas y exactas es de dimensiones infinitas sobre reales, el espacio formado cocientendo las formas exactas del espacio de formas cerradas de un rango dado, digamos [math] p [/ math], es de dimensión finita y se llama [math] p [/ math] -th de Rham cohomology group of the múltiple. Está abarcado por las llamadas clases de cohomología [matemáticas] p [/ matemáticas], que son esencialmente clases de equivalencia bajo la relación de equivalencia ‘difiere en una forma exacta’ (recuerde, la suma de una [matemática] p cerrada [ / math] -form y una forma exacta [math] p [/ math] es una forma cerrada [math] p [/ math]). La dimensión (finita) del grupo de cohomología [matemática] p [/ matemática] se denomina número matemático [matemático] p [/ matemático] Betth, que, en términos generales, cuenta el número de formas en que las obstrucciones para deformar un [ matemáticas] p [/ matemáticas] submanifold dimensional en otro submanifold surgen.
Lo que dice el teorema del isomorfismo de Hodge es que hay precisamente una forma cerrada en cada clase de cohomología. Las formas que están cerradas y cerradas son precisamente aquellas formas que son armónicas, es decir, formas que son aniquiladas por la laplaciana [matemáticas] \ mathrm d \ mathrm d ^ \ dagger + \ mathrm d ^ \ dagger \ mathrm d [/ math] (la la equivalencia puede demostrarse fácilmente usando la semi-definición de la norma en el espacio de formas). Entonces, el espacio de las formas armónicas [matemáticas] p [/ matemáticas] es canónicamente isomorfo al grupo de cohomología [matemáticas] p [/ matemáticas]. El potencial electrostático escalar resulta ser una forma armónica [matemática] 0 [/ matemática] (las formas de rango cero son solo funciones). Ahora, [math] 0 [/ math] -dimensional submanifolds son solo puntos. Si bien los puntos interiores pueden deformarse entre sí sin problemas, no se puede decir lo mismo de los puntos en las superficies conductoras que están desconectados. Entonces, el número de formas en que surgen las obstrucciones a tales deformaciones es el número de superficies conductoras, que, por lo tanto, es el [matemático] 0 [/ matemático] -th número Betti en este caso. La dimensión del espacio de las formas armónicas [matemáticas] 0 [/ matemáticas] es, por lo tanto, igual al número de superficies conductoras desconectadas entre sí.
Nota : Las discusiones sobre la cohomología de De Rham y el teorema del isomorfismo de Hodge se llevan a cabo típicamente en el contexto de múltiples compactos sin límite. Esta es una ligera generalización, ya que tenemos en cuenta la presencia de un límite. La estructura básica de los argumentos permanece intacta.
