En algunos ejemplos simples, el cálculo entra por definición . Es posible que le den el espectro de una fuente de luz, como el sol. Se muestra como un gráfico con longitud de onda en el eje horizontal, y el eje vertical es la potencia por unidad de longitud de onda. Si luego se le pregunta cuánta potencia se irradia en el rango de 500 nanómetros (nm) a 550 nm, la respuesta es el área bajo la curva sobre el dominio 500 a 550. Puede escribir la respuesta como una integral definida sobre ese dominio . Tendrá razón en la definición de cómo se tomaron los datos.
El cálculo es más esencial cuando una ley científica se escribe como una ecuación diferencial. F = ma parece simple, pero a es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. En una masa m , la fuerza de gravedad es m * (9.8 m / seg ^ 2) hacia abajo. Deja caer la masa desde una torre al vacío. Entonces -9.8 m = ma , entonces a = -9.8 m / sec ^ 2. La masa se acelerará en la dirección menos y , de ahí el signo menos. Velocidad v = integral en el tiempo de v 0 + a . v = v 0 -9.8 t . Deje que la velocidad inicial v0 = 0, entonces v = -9.8 t . Integre nuevamente para obtener la posición, luego y = – (0.5) * 9.8t ^ 2. Ahí tienes, un simple problema de libro de texto. Las ideas de cálculo son necesarias para escribir F = ma y para resolver una respuesta, aunque estoy seguro de que los autores han encontrado formas de ocultar el cálculo para algunos públicos.
Si la masa está conectada a un resorte, y el otro extremo del resorte está anclado, entonces con o sin gravedad, si le das un empujón a la masa, la solución a las leyes de movimiento de Newton es que la masa rebotará de un lado a otro. Nuevamente, se ignora la fricción. Los circuitos eléctricos pueden rebotar, podríamos llamarlo sonar, porque los condensadores y los inductores se describen mediante ecuaciones diferenciales.
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Esos son ejemplos unidimensionales, pero en 2 dimensiones puede tener una pequeña masa en órbita alrededor de la Tierra. Una órbita circular es una solución, pero la órbita puede ser elíptica. Todo esto nuevamente proviene de la aplicación diligente de F = ma . Estos ejemplos simples con cálculo muestran un hecho sobre la ciencia que rara vez aparece en las noticias. Se insinúa en programas de televisión a veces. Es decir, puedes conocer la ley de la ciencia. Puede ser una ley simple y exacta como F = ma . Pero para resolver las ecuaciones puede ser un poco de trabajo en una situación, y luego necesita resolver la misma ecuación en un problema diferente.
Cuando un físico habla de “teoría”, a menudo se refiere a resolver leyes conocidas en situaciones nuevas. Se vuelve altamente no trivial. Muchas leyes de la ciencia se expresan como ecuaciones diferenciales. En general, una ecuación diferencial tiene muchas soluciones. Para encontrar algunas de esas soluciones, necesita cálculo más suerte.
*** Nota agregada en diciembre de 2014
El libro histórico de Edward Dolnick, The Clockwork Universe , habla un poco sobre lo que motivó a Newton y Leibniz a inventar el cálculo. El problema era y es que surgen movimientos interesantes cuando la velocidad misma cambia constantemente. Supongamos que un cañón dispara un proyectil hacia arriba en ángulo. Ignorar la fricción y en el caso más simple también ignorar la curvatura de la tierra. El componente horizontal de la velocidad de la bala de cañón es constante, por lo que se mueve constantemente en la dimensión horizontal. La velocidad vertical cambia constantemente, por lo que la bala de cañón sube y luego baja. Sin cálculo, apenas hay un vocabulario para definir la velocidad instantánea. El cálculo te da el concepto, luego los pasos algebraicos para trabajar con el concepto. La gráfica de altura versus tiempo es una parábola. La trayectoria a través del aire también es una parábola. Teniendo en cuenta la curvatura de la tierra, la trayectoria es realmente una órbita elíptica que se cruza con la superficie de la tierra. Newton se dio cuenta de que si pudieras colocar el cañón en una torre alta y disparar la bala de cañón horizontalmente a una velocidad suficiente, lo pondrías en una órbita circular. Realmente hacer ese experimento sería difícil, pero el cálculo da los conceptos para pensarlo.
Mapa de vectores estocástico, que posiblemente se puede utilizar en términos de negocios y el mercado de valores. 