Una dificultad que muchas personas entienden es que la noción popular de dimensión se deriva principalmente de la geometría euclidiana, pero la terminología matemática y científica moderna ofrece una noción más general de dimensión que permite que diferentes disciplinas aborden de manera diferente dichos conceptos. Esta pregunta está más estrechamente relacionada con los conceptos más antiguos de la física que parecen tratar de usar el espacio más como una estructura de coordinación propia que la visión contemporánea. El “espacio”, o “el universo”, o “espacio-tiempo” se considera más propiamente como un objeto topológico inmerso (técnicamente similar a “incrustado”) en un espacio topológico de dimensiones infinitas. Las otras respuestas aquí parecen centrarse en las percepciones de una coordinación de la realidad (a falta de un término mejor) que describa cómo realizar tareas utilizando tres coordenadas “físicamente espaciales” (longitud, anchura y amplitud) y una coordenada “temporal” ( hora).
Sin embargo, las consideraciones relativistas especiales y relativistas generales desafiaron esa concepción, de varias maneras, entre ellas la destrucción de la noción de que los cuatro ejes (más propiamente, vectores base, en el lenguaje del álgebra lineal) del llamado ” espacio-tiempo “son (linealmente) independientes. Específicamente, cuando uno considera “objetos” en un “espacio-tiempo” de cuatro dimensiones que “se mueven” en relación con los tres ejes espaciales, o cuando uno toma en consideración que esos “objetos” son concentraciones de “materia”, cuanto más razonable sea La visión es que las ubicaciones disponibles en ese espacio-tiempo de cuatro dimensiones que pueden estar “ocupadas” por tales objetos se vuelven limitadas, lo que lleva en modelos simples a nociones de “conos de luz” y cosas así. (El viaje de un objeto fuera de su cono de luz positivo es verboten, por ley, que nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz, y un ser sensible “normal” no puede “recordar”, o verse afectado por tener en su ” pasado “, eventos fuera de su cono de luz negativo.) los efectos gravitacionales complican las cosas, ya que las consideraciones relativistas generales tienden a sugerir que el espacio-tiempo no es euclidiano o” curvo “. Así, una noción natural que le ayuda a uno a pensar acerca de cómo es “realidad” es la noción de una variedad. Un ejemplo de una variedad bidimensional es la superficie de una esfera. Es un espacio no euclidiano. Uno puede pensar entonces que la noción apropiada de “universo” es una variedad topológica con la propiedad de que en cualquier punto dado, el escenario local (técnicamente, algún vecindario abierto del punto dado) “parece” euclidiano.
La mecánica cuántica desafía las dos nociones anteriores. Pero pospondré esa discusión y primero diré algo sobre la inmersión o incrustación de múltiples.
Un punto es una variedad de cero dimensiones. En términos generales, no se necesitan parámetros para describir los eventos que ocurrirían “en” “el universo”, si “el universo” consistiera en un solo punto. Pero un segmento de línea abierta, o un rayo abierto o una línea, es un ejemplo de una variedad unidimensional, porque un parámetro, la distancia desde algún punto de partida especificado, es exactamente todo lo que se necesita para describir todos los eventos “en” “el universo “si” el universo “consistía solo en un segmento, rayo o línea. Estos ejemplos de colectores unidimensionales y cero están conectados. Si “el universo” consistiera en una línea y un punto que no esté en esa línea, entonces sería una variedad desconectada. De hecho, esto también sería una variedad impura, ya que tendría algún punto con una vecindad de dimensión cero y otros puntos (en la línea) con vecindades unidimensionales. En una variedad pura, dos puntos tienen vecindades con la misma dimensión. Un ejemplo de una variedad de dimensión puramente desconectada es cualquier modelo de “universo” que consta de dos líneas que no se cruzan. Si “el universo” es una variedad desconectada, entonces tendría múltiples “piezas” (los componentes y los “observadores” hipotéticos que viven en piezas distintas nunca podrían comunicarse entre sí para compartir información sobre la estructura del espacio. De hecho, si “el universo ” no es una variedad conectada, entonces es probable que ni siquiera podamos reconocer su falta de conexión desde “dentro” – y siempre estamos “dentro” del “universo”. Por lo tanto, es realmente más razonable modelar ” el universo “como una variedad pura conectada. Ahora, una superficie esférica se puede considerar como una superficie de dos dimensiones, porque solo se requieren dos parámetros para especificar cualquier ubicación en esa superficie. De hecho, es una variedad bidimensional debido a esto. Sin embargo, es imposible “poner” una superficie esférica en el espacio euclidiano bidimensional, por lo que la vemos “desde afuera” como un objeto bidimensional “dentro” del espacio euclidiano tridimensional. es una incrustación o inmersión. diferencias técnicas entre incrustaciones e inmersiones, a las que no entraremos aquí. El lector interesado puede consultar los textos relevantes y los artículos de Wikipedia sobre estos temas y distinciones que tratan principalmente sobre la auto-intersección y cuestiones relacionadas.) Existen teoremas útiles como el teorema de incrustación de Whitney, que indican qué variedades pueden integrarse en qué espacios euclidianos. En general, lo mejor que se puede hacer es duplicar la dimensión de la variedad. Por lo tanto, si la “realidad” es una variedad de cuatro dimensiones, entonces es posible que necesitemos un espacio euclidiano de ocho dimensiones en el que sumergirlo o incrustarlo para ver “el universo” como una parte de un espacio euclidiano. Pero como vivimos “dentro” del “universo”, hay un sentido en el que es filosóficamente extraño pensar que “el universo” está “dentro” de “otro universo”, solo para que podamos usar geometría euclidiana para un modelo o teoría de “todo”. Eso sería, en un sentido laxo, una violación de la Navaja de afeitar de Okham, porque no deberíamos inventar más que “realidad” para estudiar “realidad”. Sin embargo, si pensamos en el espacio (una variedad tridimensional) o el espacio-tiempo (una variedad cuatridimensional) como incrustado suavemente (lo que significa que las derivadas tienen sentido, de modo que la aproximación lineal, cuadrática, …, polinómica, …, analítica …) tiene sentido) en un espacio euclidiano de dimensiones superiores, podemos usar espacios y operadores tangentes en esos espacios tangentes, para describir el concepto de medición localizada y su relación con el conocimiento de los fenómenos globales, lo que finalmente conduce a la mecánica cuántica, el Principio de incertidumbre de Heisenberg , etc. Pero incluso toda esta concepción es un tipo extrínseco de física, que requiere que imaginemos un “universo” que de alguna manera es “meta” para el nuestro.
¿Por qué no utilizar una colección intrínseca de descripciones para describir “el universo”?
La pregunta original está relacionada de manera abstracta con este tema, en el sentido de que el interlocutor parece pensar que solo las tres coordenadas espaciales son intrínsecas al espacio físico, y que la coordinación del tiempo es de alguna manera extrínseca al espacio físico. Pero como algunas respuestas han mencionado, si pensamos en el espacio y el tiempo como las dimensiones requeridas para describir “el universo”, entonces todo “existe en las cuatro dimensiones”, y podemos observar eso al notar el movimiento de los objetos tridimensionales , lo que lleva a la medición mecánica del paso del tiempo, utilizando cronómetros (un término sofisticado para “relojes”). Además, como menciono en otra parte, la relatividad especial y la relatividad general explican cómo el tiempo debe considerarse “dependiente” de las otras coordenadas percibidas, y es de esta manera que una descripción más intrínseca comenzó a desarrollarse.
Ahora, ¿qué dimensión múltiple deberíamos usar para modelar “el universo” en el que nos encontramos “atrapados” por así decirlo? Uno podría sugerir que “al menos cuatro” es una buena respuesta. Primero explicaré por qué sugiero que 4 es definitivamente muy poco. Luego explicaré por qué sugeriría que una respuesta razonable es que la dimensión debe ser infinita y, sin embargo, contable.
Para explicar por qué sugiero que 4 es definitivamente muy poco, considere primero un dispositivo robot construido con un brazo anclado y enlaces para simular el movimiento de un brazo, una muñeca y una mano. En muchos casos, habría razones para tener más de dos enlaces, pero supongamos por el momento que hay exactamente dos, de modo que el hombro esté anclado y el codo pueda moverse en un plano, pero la muñeca pueda girar para que la mano Puede apuntar en varias direcciones. Esto da como resultado al menos 6 grados de libertad para diseñar el robot. Es decir, un “espacio de parámetros” para el diseño del brazo robótico en cuestión es al menos de seis dimensiones. Por supuesto, “el universo” es mucho más complicado que un solo brazo robótico y, por lo tanto, el número de grados de libertad es mucho más que incluso 6, si uno está contemplando diseñar un modelo de una porción razonablemente grande del “universo “que imita mecánicamente los estados del” universo “.
Para explicar por qué sugeriría que una respuesta razonable es que la dimensión debe ser infinita y, sin embargo, contable, permítanme señalar que hay un comentario sobre la respuesta dada por Tim Bushell, que sugiere que el tiempo no debe considerarse otro “físico”. ” dimensión ”. Visitemos esa idea por un momento, en el que veremos temporalmente el tiempo como de alguna manera “fuera” del espacio físico, y luego intentemos aclarar cómo se puede modificar el tiempo de nuestros modelos para tener en cuenta las conexiones entre la mecánica (un término I Estoy usando para significar “estudio de lo que sucede en el subespacio tridimensional del espacio-tiempo de cuatro dimensiones” y la mecánica espacio-temporal (un término que usaré para significar “estudio de lo que sucede en el espacio-tiempo” ) Mis discusiones tendrán como objetivo transmitir mi comprensión actual, pero a nivel de laico, de cómo la física moderna “debería” ver los fenómenos “en” el “universo”.
Por lo tanto, al tratar el tiempo por separado, vemos una sola partícula en (lo que podemos pensar es) en el espacio tridimensional, moviéndose a lo largo de alguna trayectoria. Esta trayectoria puede verse como una función x, desde el eje del tiempo al subespacio tridimensional del espacio-tiempo euclidiano clásico de cuatro dimensiones. Esto conduce a una restricción que mencionamos antes de las ubicaciones accesibles en el espacio tridimensional que se puede describir en términos de “conos de luz” (positivo para la vida futura de la partícula y negativo para su pasado). Sin embargo, la noción de “cono de luz” aquí solo se aplica instantáneamente, de modo que en cada instancia de tiempo, la partícula recibe un cono de luz diferente, incluso si se mueve en línea recta a lo largo de uno de los tres ejes espaciales. . Por lo tanto, después de que transcurra un poco de tiempo, la partícula tiene un nuevo cono de luz, lo que limita aún más su “futuro potencial hacia adelante” a un subconjunto de los que tenía disponibles anteriormente. Uno puede pensar que el “pasado disponible” se hace más grande, ya que el cono de luz avanza con su vértice en la ubicación “física” de la partícula, pero esto es engañoso, ya que la partícula no puede retroceder en el tiempo (al menos asumiremos por ahora que “el viaje en el tiempo al pasado” no es posible). Si la partícula estuviera “sola” en el universo, entonces ningún otro evento puede influir en su trayectoria que los de todos sus conos de luz negativos anteriores, o en su pasado a lo largo de su trayectoria pasada. Sin embargo, si no está solo en “el universo”, entonces los eventos que involucran otras partículas en el nuevo cono de luz negativa ahora pueden afectar la partícula. Puede haber sido engañoso, pero después de todo es correcto tomar las uniones de los conos de luz negativos como el “pasado potencial” de nuestra partícula, pero como dijimos antes, tomamos las intersecciones de los conos de luz positivos como el tiempo varía en todos los tiempos pasados como el “futuro potencial” de nuestra partícula. Esto limita los valores de parámetros espacio-temporales que deben considerarse cuando solo una partícula está en “el universo”. Sin embargo, como sabemos, hay muchas partículas en “el universo”, y uno debería razonablemente tomar al menos la unión de los conjuntos de puntos accesibles como el subconjunto apropiado del espacio tridimensional euclidiano para el conjunto de ubicaciones que pueden ser visitado por alguna partícula en “el universo”, esencialmente pensando también en que cada partícula tenga su propio cronómetro, midiendo el tiempo independientemente de todas las demás partículas, debido a la individualidad de los conos de luz. Ahora, esto lleva a un análogo del problema de la “vinculación de robots”, porque esencialmente, cada partícula tiene su propio marco de referencia (con tantos ejes como sean intrínsecos al colector espacial tangente: tres para coordenadas espaciales y uno para tiempo) ), y relacionando todos estos muchos marcos de referencia para que un modelo coherente de “realidad mecánica física” requiera un espacio de parámetros de alta dimensión (es decir, un gran número de grados de libertad, al menos dos por partícula, más coordenadas relativas para enlaces. Suponiendo que solo hay un número finito de partículas, se llega a la conclusión de que este espacio de parámetros es de dimensión finita. Se puede objetar que todo esto ocurre “en” un espacio tridimensional, pero el problema con esa discusión está en en parte, que con el tiempo, el conjunto de ubicaciones potencialmente accesibles está cambiando, de modo que dado que queremos al menos intentar recortar la porción de espacio euclidiano que no es “ocupable”, nos encontramos teniendo que Considere un “universo” diferente en cada momento. Esto, recuerde, está bajo la suposición de que el tiempo está de alguna manera “fuera” del “universo”. Esta “sucesión” de diferentes “universos”, indexados por momentos en que son “ocupables”, puede simplificarse mediante el análisis funcional, de la siguiente manera: Regrese por ahora a la situación de una sola partícula, en la que la trayectoria no es simple , lo que significa que no es “una línea recta”, etc. Es decir, la partícula puede girar y rotar, etc. En este caso, la función x que asigna un tiempo t a una posición x (t) de la partícula en cuestión, es un elemento de un espacio vectorial, es decir, el espacio vectorial de todas las funciones desde la línea de tiempo al espacio euclidiano de tres . Pero este espacio de todas las funciones es un espacio de funciones y tiene dimensiones infinitas. Ahora, recuerde que limitamos el conjunto de ubicaciones potenciales en tres espacios euclidianos usando uniones de conos de luz negativos e intersecciones de conos de luz positivos. Considere que el “conjunto de ubicaciones potenciales” resultante es una variedad que está inmersa o incrustada en el espacio euclidiano tridimensional, de modo que sea como máximo tridimensional. Pero aún así, el número de parámetros requeridos para describir la trayectoria de la partícula es al menos infinitamente contable, porque el espacio tangente al espacio de función en el que la trayectoria “vive” es de dimensión infinita.
Por lo tanto, la respuesta a la pregunta original es esencialmente “todo, pero ¿qué quieres decir realmente con dimesnion?”.
