Hay muchas personas más calificadas que yo aquí, incluso en quora. Pero déjame intentar darle una puñalada a esto.
Antes de comenzar, es posible que desee ver las conferencias del “premio sin precedentes” de Lurie. Allí habló sobre “teorías de homotopía exóticas”: proporcionar una forma uniforme de abordar estas teorías y producir aplicaciones de ellas es quizás una respuesta a lo que está haciendo Lurie.
De todas formas:
- ¿Cómo puede un estudiante cuya política es la opuesta a la de su profesor evitar que sus calificaciones se degraden injustamente?
- ¿Cuánto efecto tienen la graduación y la posgrado en la selección del profesor asistente?
- ¿Cómo es ser asistente de investigación?
- ¿Quién es tu profesor favorito no tan famoso?
- ¿Los "doctorados honorarios" sirven a algún bien público o solo benefician a sus receptores y a las instituciones que los otorgan?
Una de las cosas que lanzó la visión moderna de Grothendieck de la geometría algebraica a través de la teoría del esquema fue el desarrollo en el formalismo del álgebra homológica. En cierto sentido, Grothendieck y su escuela empaquetaron álgebra homológica en pequeñas cajas bonitas con manuales de instrucciones legibles que los matemáticos podrían usar con gran efecto y desde allí puedes continuar y desarrollar herramientas agradables como la cohomología etale y probar cosas como las conjeturas de Weil.
Ahora, comenzando con Quillen, la gente ha producido generalizaciones de álgebra homológica bajo el nombre de “álgebra homotópica”. ¿Qué se está generalizando? Bueno, una respuesta es quizás el siguiente argumento de mente simple en matemáticas. Supongamos que quiero mostrar que dos mapas entre dos cositas son iguales, una estrategia es construir una cosita nueva cuya desaparición / ser 0 sea equivalente a que los dos mapas sean iguales. Esta estrategia depende de lo que estoy considerando, ciertamente puedo hacer esto ingenuamente en cosas como espacios vectoriales o grupos abelianos. Pero para cosas más “no lineales” como los espacios, el problema puede ser sutil. El álgebra homológica trata mejor con el primer caso, pero no tanto con el segundo, y el álgebra homotópica trata con las sutilezas del segundo. Precisamente por pensar mucho sobre este problema, Quillen produjo por primera vez su paquete para álgebra homotópica. La cosa es que hay muchas maneras en que se puede hacer álgebra homotópica con diferentes niveles de explicidad, dificultad para establecer, dificultad para probar teoremas, dificultad para hacer cálculos con y así sucesivamente, pero al final el objetivo es poder hacer el tipo de álgebra homológica manipulaciones en este nuevo escenario.
Ahora Andre Joyal propuso un modelo para álgebra homotópica bajo el nombre de cuasicategorías. Probó los primeros teoremas reales sobre ellos y desarrolló sus fundamentos. Los trabajos masivos de Lurie tratan de impulsar este desarrollo aún más y producir más ejemplos y aplicaciones de estas herramientas. El acuerdo con las cuasicategorías es que podría decirse que es el paquete más “fácil” (lo que significa que requiere la menor cantidad de fondo para configurar) para recoger, especialmente si no ha recibido capacitación formal en topología. Pero es difícil probar teoremas, pero las obras de Lurie están haciendo exactamente eso por usted.
Si quiere hablar sobre revoluciones, supongo que Lurie realmente ha logrado que la “revolución homotópica” se ponga en marcha (no es mi palabra, los expertos lo han dicho antes) al poner las herramientas e ideas de álgebra homotópica a disposición de un público matemático más amplio. Una forma en que esto tal vez se muestra es en el programa de Langlands geométricos, donde la gente ha tenido problemas para formular ciertas declaraciones sin este lenguaje homotópico. Quizás otra es la teoría de la homotopía parametrizada en la que desea adjuntar a un espacio algún dispositivo de una manera coherente (esta coherencia es realmente difícil sin cuasicategorías).
Supongo que debería terminar con una advertencia: al igual que en la teoría del trabajo y el esquema de Grothendieck, no es que Lurie esté creando magia abstracta que resuelva todos sus problemas. Su gran maquinaria puede ayudarlo a llegar al corazón de sus problemas más rápido o resolver problemas técnicos, ¡pero al final todavía tiene que hacer matemáticas difíciles para resolver sus problemas!
