Cuando tiene un sistema de dos cuerpos, puede observar la energía total en el sistema para determinar si el sistema está gravitacionalmente ligado o no. Como el sol es mucho más pesado que un comentario, podemos tomarlo como un objeto estacionario, con el cometa orbitando a su alrededor.
Echemos un vistazo a la energía, para facilitar el cálculo, tenemos el sol como un objeto estacionario, luego toda la energía cinética del sistema está en el cometa:
[matemática] E_ {kin} = \ frac {1} {2} m_ {comet} v ^ 2 [/ math].
La energía potencial es la energía debida a la interacción (gravitacional) entre el sol y el cometa. Si solo echamos un vistazo a la Ley de Newton, descubriremos que esto sería [matemática] E_ {pot} = – \ frac {G m_ {sun} m_ {comet}} {r} [/ math].
- ¿La gravedad del mundo hace que la luna se acerque?
- ¿Están los planetas grandes en las órbitas externas por alguna razón?
- ¿Cuánto más pequeños podrían haber sido los cohetes Saturno V si los efectos de la atmósfera terrestre fueran insignificantes?
- ¿Por qué los astrónomos rechazan el planeta Plutón?
- Si este es el planeta donde las criaturas más inteligentes comen todo lo demás, ¿qué crees que hacen los extraterrestres (si existen)?
Eche un vistazo al hecho de que la energía potencial se toma con un signo menos. Esto se hace porque se necesita energía para separar dos objetos.
Entonces, si sé que eche un vistazo a la energía total (que es la suma del potencial y las energías cinéticas), obtendrá una expresión que puede escribir así:
[matemáticas] E_ {tot} = m_ {cometa} \ left (\ frac {1} {2} v ^ 2 – \ frac {G m_ {sun}} {r} \ right) [/ math].
Como puede ver, dependiendo de la velocidad del cometa y la distancia / masa del sol, esta energía total será negativa o positiva. Resulta que si esta energía total es negativa, entonces el sistema está ligado gravitacionalmente. Y si es positivo, significa que el cometa puede volar lejos del sol hacia el infinito (o al menos, en esa dirección). Para ver esto, imagínense que no habría interacción gravitacional, entonces la única energía es la parte cinética (que es positiva) y debido a que no hay interacción, este sistema no puede vincularse.
Como puede ver, la fórmula tiene sentido: aumentar la masa del sol, disminuir la velocidad del cometa y disminuir la distancia entre el sol y el cometa disminuirá la energía y, por lo tanto, será más probable que el sistema esté vinculado . Lo único extraño es que este resultado (el signo de la energía) parece independiente de la masa del cometa, pero está oculto en los supuestos que hicimos (es decir, que la masa del cometa es mucho más pequeña que la masa del sol )
Entonces, como pueden imaginar, no importa qué distancia del sol elijan, siempre puedo obtener una velocidad que sea tan pequeña que la energía total sea negativa. Entonces, en este modelo, no hay una órbita más grande posible.
Sin embargo, hay una advertencia. Esto es bastante fácil de hacer y calcular para un problema de dos cuerpos. Sin embargo, nuestro sistema solar no es un sistema de dos cuerpos, hay ocho planetas, toneladas de asteroides, otros cometas, enanos de hielo, etc. Y aunque la idea de este cálculo aún es válida, es imposible de calcular.
Luego también está el hecho de que en algún lugar, muy lejos de aquí, hay otras estrellas. Y aunque su influencia en nuestro vecindario es insignificante, aumentará a medida que se aleje. En cierto punto, tendrá que tener en cuenta la atracción gravitacional de las estrellas cercanas para ver realmente si un cometa está atado o no.
Como tal, habrá una órbita práctica más grande.
Para estimar el tiempo que tomaría viajar una órbita completa, podemos usar las leyes de Kepler del movimiento planetario, específicamente la tercera:
[matemáticas] T ^ 2 = \ frac {4 \ pi r ^ 3} {G m_ {sol}} [/ matemáticas]. Donde [matemáticas] T [/ matemáticas] es el período orbital. Conectar los números te daría:
[matemáticas] T ^ 2 = 10 ^ – {21} r ^ 3 [/ matemáticas]
de 4 \ pi / (GravitationalConstant SunMass)
Entonces, si desea tener un cometa que tenga un período orbital de, digamos, 65 millones de años, necesitaría un radio de aproximadamente 1000 años luz. (Podría cometer un error en alguna parte, ya no hago cálculos numéricos). Al ver que la estadía más cercana está ‘solo’ a 4 (y un poco) años luz de distancia, esto claramente no es un cálculo preciso. Así que es muy dudoso que encontremos un cometa con este período orbital.
Si fuera usted, volvería a calcular la cosa while (de la Ley de Kepler) y vería qué valor máximo puede obtener. Yo diría que cualquier [matemática] r [/ matemática] mayor que 1 o 2 años luz significaría que no puede obtener un resultado confiable.
Como nota final a esta respuesta demasiado larga:
Los métodos que utilicé aquí eran todos métodos clásicos. Y algunos de ellos incluso descuidaron la masa del cometa (que es algo válido, pero no tan preciso). Para obtener una imagen más completa, uno debería describir nuestro sol con una métrica de Schwarzschild y observar el potencial que se obtiene de eso. Esto es bastante más complicado y requiere el conocimiento de la relatividad general. Como no se pidieron cálculos reales ni respuestas precisas, no escribí nada de eso. Si está realmente interesado, eche un vistazo a Page en preposterousuniverse.com. de la página 172 más o menos.
