¿Cómo se calcula la masa de la Tierra? ¿Cómo se estimó por primera vez?

A2A

El peso es la fuerza con la que se tira hacia la Tierra.
Entonces, técnicamente lo que estás pidiendo no tiene sentido.

Cuando decimos que tengo 80 kgf de peso, eso significa que una fuerza de esta magnitud me está empujando hacia el centro de la Tierra.

A menudo confundimos masa y peso.
Si buscas descubrir la masa de la tierra.

CÁLCULO DE LA MASA DE LA
TIERRA

1. F = GmM / r ^ 2 = ma,

donde F es la fuerza gravitacional,
G es la constante gravitacional,
M es la masa de la tierra,
r es el radio de la Tierra,
m es la masa de otro objeto (cerca de la superficie de la Tierra).

2. GM / r ^ 2 = a (La m está cancelada).

Ahora resuelve para M, la masa de la Tierra.

3. M = ar ^ 2 / G,

donde a = 9.8 m / seg ^ 2,
r = 6.4 x 10 ^ 6 m,
G = 6.67 x 10 ^ – 11 m ^ 3 / (kg sec ^ 2).

4. M = 9.8 x (6.7 x 10 ^ 6) 2 / 6.7 x 10 ^ -11
= 6.0 x 10 ^ 24 kg

Sería más apropiado preguntar,
“¿Cuál es la masa del planeta Tierra?”
porque todos sabemos
F = m * a
Ahora cuanto peso

F = 68 kg * 9.8 m / s2

mi peso cambia según la fuerza gravitacional pero mi masa permanece constante
a menudo cometemos errores en nuestro peso y masa …
Es “más apropiado” preguntar sobre la masa que sobre el peso porque el peso es una fuerza que requiere un campo gravitacional para determinar. Puedes tomar una bola de boliche y pesarla en la Tierra y en la luna. El peso en la luna será un sexto que en la Tierra, pero la cantidad de masa es la misma en ambos lugares. Para pesar la Tierra, necesitaríamos saber en qué campo gravitacional del objeto queremos calcular el peso. La masa de la Tierra, por otro lado, es una constante.

La respuesta rápida a eso es aproximadamente 6,000,000, 000,000,000,000,000,000 (6 x 1024) kilogramos.

La subpregunta interesante es: “¿Cómo alguien se dio cuenta de eso?” No es como si el planeta subiera a la báscula cada mañana antes de ducharse. La medición del peso del planeta se deriva de la atracción gravitacional que la Tierra tiene para los objetos cercanos.
Resulta que cualquiera de las dos masas tiene una atracción gravitacional entre sí. Si colocas dos bolas de boliche una cerca de la otra, se atraerán entre sí gravitacionalmente. La atracción es extremadamente leve, pero si sus instrumentos son lo suficientemente sensibles, puede medir la atracción gravitacional que tienen dos bolas de boliche entre sí. A partir de esa medición, podría determinar la masa de los dos objetos. Lo mismo es cierto para dos pelotas de golf, pero la atracción es aún menor porque la cantidad de fuerza gravitacional depende de la masa de los objetos.
Newton demostró que, para los objetos esféricos , puedes hacer la suposición simplificadora de que toda la masa del objeto se concentra en el centro de la esfera. La siguiente ecuación expresa la atracción gravitacional que tienen dos objetos esféricos entre sí:
F = G (M1 * M2 / R2)

• F es la fuerza de atracción entre ellos.
• G es una constante que es 6.67259 x 10-11 m3 / kg s2.
• M1 y M2 son las dos masas que se atraen entre sí.
• R es la distancia que separa los dos objetos.

Suponga que la Tierra es una de las masas (M1) y una esfera de 1 kg es la otra (M2). La fuerza entre ellos es de 9.8 kg * m / s2: podemos calcular esta fuerza soltando la esfera de 1 kg y midiendo la aceleración que le aplica el campo gravitacional de la Tierra (9.8 m / s2).
El radio de la Tierra es de 6.400.000 metros (6.999.125 yardas). Si conecta todos estos valores y resuelve M1, encontrará que la masa de la Tierra es 6,000,000,000, 000,000,000,000,000 kilogramos (6 x 1024 kilogramos, o 1.3 x 1025 libras).

Fuente HowStuffWorks “¿Cuánto pesa el planeta Tierra?”

La masa de la Tierra (M⊕) es la unidad de masa igual a la de la Tierra. 1 M⊕ = 5.97219 × 1024 kg. La masa de la Tierra a menudo se usa para describir masas de planetas terrestres rocosos. Ese es un gran número, así que escribámoslo en su totalidad: 5,973,600,000,000,000,000,000,000 kg.

Como conocemos el radio de la Tierra, podemos usar la Ley de Gravitación Universal para calcular la masa de la Tierra en términos de la fuerza gravitacional sobre un objeto (su peso) en la superficie de la Tierra, utilizando el radio de la Tierra como distancia. También necesitamos la constante de proporcionalidad en la ley de la gravitación universal, G. Henry Cavendish determinó experimentalmente este valor en el siglo XVIII como la fuerza extremadamente pequeña de 6.67 x 10-11 Newtons entre dos objetos que pesan un kilogramo cada uno y separados por un metro. Cavendish determinó esta constante midiendo con precisión la fuerza horizontal entre las esferas metálicas en un experimento que a veces se denomina “pesar la tierra”.

Gracias por A2A Vasubandhu Manke

Creo que este lector realmente estaba preguntando cómo se puede determinar la masa de la Tierra. Esto es un poco más complicado, aunque solo un poco. Además, a diferencia de la pregunta anterior, tiene una respuesta directa y aún puede obtener la respuesta usando la báscula de baño. Como suele ser el caso en física, las cosas bastante complicadas se pueden describir muy bien con una ecuación simple. En el caso de la atracción gravitacional, la ecuación es la siguiente:

El valor G se llama constante gravitacional, y se ha determinado a través de muchas décadas de experimentos cuidadosos. Sabemos qué tan lejos está una persona de pie en la superficie del centro del planeta (aproximadamente 6,371 kilómetros), por lo que todo lo que necesitamos saber es su masa, y luego podemos calcular la masa de la Tierra. Encontrar la masa de una persona solo implicará contar todos los átomos en su cuerpo. (Pero no olvide tener en cuenta el burrito que comió anoche también). Esto se está convirtiendo rápidamente en un problema complicado. Como alternativa, quizás podríamos usar un bloque de algún material para el que sea más fácil hacer una estimación del número de átomos que contiene. Tal vez, pero este no es el tipo de experimento que puede realizar en su baño.
Afortunadamente, una báscula de baño puede ayudar a resolver este problema (aunque de manera inesperada) mediante el uso de una ecuación más simple. Resulta que la velocidad a la que un objeto se acelera debido a la fuerza de gravedad, llamada “g”, depende de la masa del objeto que tira. En el caso de la Tierra, tenemos:

Por lo tanto, puede abrir la ventana de su baño, arrojar su báscula por la ventana y contar cuántos segundos se necesitan para llegar a la acera. Luego mida la distancia desde su ventana al suelo, y puede calcular la aceleración de la escala. La respuesta que obtendrá es 9.8 m s-2. Conociendo este valor de g para la superficie de la Tierra, junto con la constante G y la distancia de 6,731 kilómetros al centro de la Tierra, puede calcular la masa de la Tierra en 6 x 1024 kilogramos. (Tampoco te molestarán las malas noticias de tu báscula).
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Usando la ecuación de atracción gravitacional

[matemáticas] f = \ dfrac {Gm_1m_2} {d ^ 2} [/ matemáticas]

Donde [math] m_1 [/ math] es la masa a soltar y [math] m_2 [/ math] es la masa de la tierra. La fuerza [matemática] f = m_1 * g [/ matemática] por lo que la masa [matemática] m_1 [/ matemática] se cancela desde ambos lados (1 kg o 20 kg cae a la misma velocidad). Reorganice la ecuación y se convierte en [math] [/ math]

[matemáticas] m_2 = \ dfrac {g * d ^ 2} {G} [/ matemáticas]

Dónde:

g = aceleración debido a la gravedad = 9.80665 m / seg ^ 2

d = radio de la tierra (metros) = 6371000 m

G = constante gravitacional = 6.672590E-11

= 5.965426E + 24 (Kg)

Como señala otra respuesta, esto da como resultado una densidad promedio de la tierra de alrededor de 5517 Kg / m ^ 3

Algunas densidades, (Aprox.): Agua 1000, Silicio 2330, Concreto 2400, Mármol 2600, Cuarzo 2660, Granito 2650–2750, Diamante 3550

Ninguno de estos se acerca a 5517, por lo que hay algo ahí abajo que es mucho más denso que la roca para elevar la densidad promedio a este valor.

Iron 7870 y Nickel 8900 podrían tener algo que ver con eso. No solo hemos encontrado la masa de la tierra, también hemos descubierto que tiene un núcleo metálico muy denso.

Masa = volumen × densidad

Volumen = 4/3 [pi] r ^ 3 (suponiendo una esfera perfecta)

r = 6371 km

4/3 × 3.142 × 6371 ^ 3 = 1 083 347 368 042.8 km3 (X km3)

Dado que la densidad del agua de mar es de 1029 kg / m3, suponga que la densidad de la Tierra es de 5510 kg / m3 (= 5 510 000 000 000 kg / km3 (Y kg / km3)

Masa = X • Y

= 5 969 243 997 915 828 000 000 000 kg.

= 5,97 × 10 ^ 24 kg.

Sutil…

Usando la ley de Newton de la gravitación universal
F = GMm / r ^ 2, donde G = 6.674 × 10 ^ −11 Nm ^ 2 / kg ^ 2

Para un objeto de masa m en la tierra, la fuerza de gravedad sobre él es:
F = mg, donde g = 9.8 m / s ^ 2 medido por experimentos
El radio de la Tierra calculado es aproximadamente r = 6.371 × 10 ^ 6m

GMm / r ^ 2 = mg
GM / r ^ 2 = g
M = gr ^ 2 / G
M = 9.8 (6.371 × 10 ^ 6) ^ 2 / 6.674 × 10 ^ -11
M = 6 × 10 ^ 24 kg

Creo que estás confundido acerca de las definiciones de masa y peso. En Física, estos son dos conceptos diferentes, aunque a veces se usan indistintamente en el día a día. La masa es en realidad una medida del contenido de materia en un cuerpo donde, como peso, es la fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre un cuerpo.

Uno puede estimar aproximadamente la masa de la Tierra utilizando la tercera ley de Kepler del movimiento planetario. Para eso, uno necesita saber el período de tiempo de revolución de la luna alrededor de la tierra y la distancia de la luna a la tierra en el apogeo.

La formula es
[matemáticas] T ^ 2 = \ dfrac {4 \ pi ^ 2r ^ 3} {GM} [/ matemáticas]
dónde,
G es la constante gravitacional universal.
T es el período de tiempo de la luna alrededor de la tierra.
r es la distancia de la luna a la tierra en el apogeo.
M es la masa de la tierra

Sustituyendo G, T y r en la fórmula anterior puede darle una buena estimación de la masa de la tierra (M).

Sentí que las respuestas carecían de un aspecto crucial, cuando hablamos de la fuerza que actúa sobre cualquier persona en la Tierra por eso, rápidamente olvidamos incluir la fuerza centrífuga que actúa sobre él. Curiosamente, esta es la clave para responder a esta pregunta,

este cálculo está tomado del satélite IMAGEN de la NASA, Ask the Space Scientist Archive

Pero aquí está tu respuesta:

Al conocer una distancia y un tiempo en el que puedes calcular una masa y pesar un planeta. Para un objeto de masa – m, en una órbita circular o radio -R, la fuerza de gravedad se equilibra con la fuerza centrífuga del movimiento de los cuerpos en un círculo a una velocidad de V, por lo que de las fórmulas para estas dos fuerzas se obtiene ,

[matemáticas] F (gravedad) = GM m / R ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] F (centrífuga) = m V ^ 2 / R [/ matemáticas]

Como se ve arriba, solo hay un valor que nosotros (Gente común) no podemos medir al hacer este experimento: el valor de la constante gravitacional universal – G, suponiendo que nuestros colegas científicos lo hayan calculado en una aproximación muy cercana, como se dice aquí. constante podemos continuar.

Si equilibra las fuerzas de un cuerpo que está orbitando la Tierra con un período constante y una masa conocida, distancia de la Tierra y una velocidad orbital, obtenemos

[matemática] F (gravedad) = F (centrífuga) [/ matemática]

[matemáticas] V ^ 2 = GM / R [/ matemáticas]

Como puede ver que la masa del cuerpo en órbita se cancela a ambos lados, dejando la ecuación independiente de la masa del cuerpo en órbita, podemos hacer el cálculo para cualquier cuerpo en órbita conocido, que podría ser un satélite artificial o Luna y aún obtener el ecuación satisfecha ya que sus V y R solo son necesarios.

Conocemos el período orbital de la Luna de la Tierra como 28 días, gracias a los espejos retroreflectores del experimento Lunar Laser Ranging sabemos la distancia entre los dos cuerpos (al menos desde la superficie del otro), use la geometría simple para encontrar la distancia exacta uno del otro se centra en la superficie y luego se suman a esta distancia.

Ahora, la velocidad en una órbita circular es solo 2 x pi x R la circunferencia, dividida por el tiempo orbital del satélite, T, por lo que obtienes:

[matemática] 4 Pi ^ 2 R ^ 2 / T ^ 2 = GM / R [/ matemática]

Por álgebra resolvemos esto en

[matemáticas] M = 4 Pi ^ 2 R ^ 3 / GT ^ 2 [/ matemáticas]

Todo lo que tenemos que hacer ahora es sustituir los valores de la siguiente manera,

[matemática] pi = 3.14159 [/ matemática] (Aproximaciones de π)

[matemática] R = 3.84402 × 10 ^ 8 [/ matemática] (aproximadamente desde la distancia lunar (astronomía))

[matemática] G = 6.67408 x 10 ^ -11 m ^ 3 Kg ^ -1 S ^ -2 [/ matemática] ( constante gravitacional )

[matemática] T = 2.3606 × 10 ^ 6 segundos [/ matemática] (Aproximadamente desde la luna 27.321661 días (27 d 7 h 43.19 min 11.5 s))

Tambor Roll …

[matemática] M = 6.02949 × 10 ^ 24 Kg {[/ matemática] Usando> Computational Knowledge Engine}

Bastante cerca, ¿no? masa de la tierra – Búsqueda de Google

masa de la Tierra = 5.97219 × 1024 kilogramos (exacto)
de acuerdo con la segunda ley de newton F = ma.
para calcular la masa de la tierra,
F = GmM / r2 = ma (r cuadrado)
F = fuerza gravitacional, G = constante gravitacional, M = masa de la tierra, r = radio de la tierra, m = masa de un objeto más cercano a la superficie de .so se cancelan las m y GM / r cuadrado = a permanece. U quiere determinar la masa de la tierra, así que calcule para M.
M = ar2 / G (r cuadrado) , donde a = 9.8m / sec2, r = 6.4 x 106m, y G = 6.67 x 10-11m3 / (kg sec2).

M = 9.8 x (6.4 x 106) 2 / (6.67 x 10-11) = 6.0 x 1024 kg, por lo que el valor 5.97219 se redondea.

Debido a que conocemos el radio de la Tierra, podemos usar la Ley de Gravitación Universal para calcular la masa de la Tierra en términos de la fuerza gravitacional sobre un objeto (su peso) en la superficie de la Tierra, utilizando el radio de la Tierra como distancia.

Es “más apropiado” preguntar sobre la masa que sobre el peso porque el peso es una fuerza que requiere un campo gravitacional para determinar. Puedes tomar una bola de boliche y pesarla en la Tierra y en la luna. El peso en la luna será un sexto que en la Tierra, pero la cantidad de masa es la misma en ambos lugares. Para pesar la Tierra, necesitaríamos saber en qué campo gravitacional del objeto queremos calcular el peso. La masa de la Tierra, por otro lado, es una constante, y eso es 6 x 1024 kilogramos.

Por cierto, ¿qué harás pesando la tierra? ¿Dile que tiene sobrepeso?

La medida GM se deriva de la mecánica newtoniana, ya sea observando satélites, o midiendo la gravedad y el radio, y teniendo en cuenta la rotación.

El manual de constantes (Cantidades astronómicas, 1969) y el valor más reciente de GM para la tierra es 3.986005 * 10 ^ 14 m3 / s2. Este, y muchos otros planetas, se conocen con esta precisión, simplemente siguiendo sus órbitas y un poco de matemática elegante.

El peso del planeta en libras o kilos se conoce con menos precisión, porque el propio G no se conoce bien. Entonces, por ejemplo, mientras que GM se le da a siete dígitos, G en sí es 6.672 o 6.67348 E-11 m³ / s² kg, generalmente, no encuentra más de cuatro dígitos hasta hace muy poco. Esto se debe a que tienes que encontrar tanto GM como M para algún cuerpo, y esto es muy difícil.

Por lo general, uno coloca dos masas M y encuentra GM² / R² en un equilibrio de torsión. Así lo hizo Cavendish cuando midió G.

Puede usar la ley de gravitación, que establece que la fuerza de gravitación entre dos cuerpos; F = Gm1m2 / r ^ 2.

El cálculo específico se puede encontrar aquí: Masa de la Tierra – EnchantedLearning.com

Por peso supongo que te refieres a cuánto pesaría la Tierra si tuviéramos un duplicado de ella y la pusiéramos en un conjunto gigante de balanzas en la Tierra. La presión contra la balanza cuando pesas algo es causada por el objeto y la Tierra acelerando uno hacia el otro.

Esta fuerza se puede calcular utilizando la fórmula aproximada:
F = G (M1 * M2 / R2)

• F es la fuerza de aceleración entre la Tierra y la luna.
• G es una constante que es 6.67259 x 10-11 m3 / kg s ^ 2.
• M1 es el peso de la Tierra y M2 es el peso de la luna.
• R es la distancia que separa los dos objetos.

Resuelva esto para M1 y obtenemos 6 x 10 ^ 24 kilogramos.

Chandu tiene razón, Henry Cavendish fue el primero en descubrir la masa de la Tierra.
En realidad descubrió el valor de la constante gravitacional universal. El valor del radio de la Tierra era conocido en ese momento. Entonces, lo que Cavendish hizo después de descubrir el valor de UGC fue medir el valor de la aceleración debido a la gravedad cerca de la superficie de la Tierra para que r en la fórmula [matemáticas] g (r) = \ frac {GM} {r ^ {2} } [/ math] es igual a R (radio de la Tierra). Habiendo conocido el valor de g (R), G y R, calculó M.

Puede usar estas ecuaciones que describen la fuerza gravitacional en un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra.

[matemáticas] F = G \ frac {Mm} {R ^ 2} = mg [/ matemáticas]

Donde m es la masa de su objeto, M masa de la Tierra, G constante gravitacional, g es la aceleración gravitacional cerca de la superficie de la Tierra y R es el radio de la Tierra.

Desde aquí puedes obtener una expresión para la masa de la Tierra

[matemáticas] M = g \ frac {R ^ 2} {G} [/ matemáticas]

R fue calculado primero por Eratothenes, g puede medirse a partir de un experimento simple, y G fue calculado primero por Lord Cavendish (experimento de Cavendish). Usando estos puede obtener que la masa de la Tierra es de aproximadamente 6 * 10 ^ 24 kg

La masa de la Tierra se puede calcular calculando la distancia entre la luna y la Tierra.

Comencemos equilibrando las fuerzas que actúan en la luna.
GMm / r ^ 2 – mv ^ 2 / r = 0
donde G = constante gravitacional, m = masa de la luna, M = masa de la Tierra, r = distancia entre los dos, v = velocidad de la luna
Por lo tanto, GM / r = v ^ 2

Para calcular la velocidad de la luna, usamos v = 2 * pi * r / T, donde T es el período de tiempo de revolución que es una constante fácilmente observable (y por lo tanto medible).

Por lo tanto, una vez que tenemos r, tenemos v y por lo tanto M = Grv ^ 2.

Al sacarlo de cualquier fuerza gravitacional que actúe sobre él, como la gravedad del Sol.

Entonces es posible que solo necesite empujarlo suavemente (sin entrar en su gravedad) y debería moverse. Eso es. ¡entonces no debería tener peso!

El tipo que lo hizo fue Henry Cavendish, que en realidad midió la densidad efectiva de la Tierra y, sin saberlo, tenía todos los datos necesarios para calcular la constante gravitacional universal (gran G).

Aquí está el wiki [1] sobre su experimento.

Notas al pie

[1] Experimento Cavendish – Wikipedia