¿Cuál es la diferencia entre el momento de inercia de masa y el momento de inercia de área?

El “momento de inercia de área” es un nombre inapropiado, y el “momento de inercia masivo” es una tautología utilizada en un vano intento de resolver la confusión causada por el nombre inapropiado.

Correctamente, solo hay un MOI: el segundo momento de masa axial (“inercia” aquí es un sinónimo anticuado de masa). Es decir, divide un objeto en muchos fragmentos de masa [math] dm [/ math] e integra las contribuciones [math] r ^ 2dm [/ math] donde [math] r [/ math] es la distancia a algunos eje de interés, y el 2 lo convierte en un segundo momento. Esta cantidad es importante en los cálculos de la dinámica de rotación sobre ese eje.

AMOI, por otro lado, no tiene nada que ver con la masa, la inercia o algo similar. Es el segundo momento de área , y viene en dos sabores, plano (que involucra el cuadrado de la distancia x normal a algún plano) o axial / polar (que involucra la r a algún eje como se indicó anteriormente). Estos son importantes para la resistencia a la flexión y torsión de las vigas.

A veces pregunto sobre esto durante las entrevistas para ingenieros mecánicos. Durante estas entrevistas, que sin duda son estresantes para la mayoría de los candidatos, he tenido personas resolviendo un problema de flexión de la viga (que debería usar el momento de inercia del área) y han comenzado a calcular un momento de inercia masivo. Aaargh!

Es muy lamentable que usemos esta misma terminología (momento de inercia) para dos fenómenos completamente diferentes. Estoy completamente de acuerdo con Mark Barton en que el momento de inercia del área es completamente inapropiado. Realmente es el segundo momento de la zona. No hay inercia involucrada. Y el otro debería llamarse segundo momento de masa.

El primero es integral de r ^ 2 dA y el segundo es integral de r ^ 2 dm. La manipulación de la integración es similar, por lo que a ambos se les llama lo mismo. Pero es engañoso, confuso, feo, lo que sea. Pero estamos atrapados en su mayoría por inercia . Juego de palabras previsto. Inercia en nuestro idioma. Inercia en nuestro uso de jerga técnica.

Bueno, esta diferencia se produce al derivar diferentes fórmulas de momento de inercia hechas por cálculo

  • Sabemos que el momento de inercia matemáticamente puede escribirse como → integración (r ^ 2 * dm) donde dm es una masa infinitesimal en el cuerpo.
  • Consideremos un objeto bidimensional para una comprensión simple
  • Básicamente, la fórmula es → integración (r ^ 2 * dm) pero la masa depende de la densidad, por lo que para el cuerpo plano podemos escribir dm = § * dA. Donde § es la densidad planar.
  • Aquí tenemos dos opciones § puede ser constante o puede ser función de variables x, y
  • Aquí tenga en cuenta que la densidad de un material es teóricamente constante, pero se supone que no hay porosidad.
  • Pero debido a la porosidad u otras razones, depende de las variables x, y
  • Así que hablemos de ambos casos
  1. Densidad no constante

Entonces, en este caso MOI = inte (r ^ 2 * § * dA)
= inte [(x ^ 2 + y ^ 2) * § (x, y) * (dx dy)]
Y resuelve esta integración bidimensional.

  • Así que aquí, en el cálculo de la inercia, se incluye la masa, por lo que se llama momento de inercia

Y

  1. Densidad constante

MOI = inte (r ^ 2 * § * dA)
= inte [(x ^ 2 + y ^ 2) * § * (dx dy)]
= § * inte [(x ^ 2 + y ^ 2) * (dx dy)]
Debido a que podemos escribir una cantidad constante fuera de la integración, los términos restantes en la integración son inte [(x ^ 2 + y ^ 2) * dA]

  • Entonces, hay un área en el cálculo del momento de inercia, por lo que esto se denomina momento de inercia de área.

Conclusión:

  • Aquí el concepto principal es el momento de inercia de masa y el momento de inercia de área es un subtipo de momento de inercia de masa, suponiendo que la dispersión de masa es homogénea con densidad constante.

No hay El momento de inercia tiene un significado algo similar en el movimiento de rotación como la masa en la traslación.