¿Cómo se cuantifica un campo tensor de rango 2 (como el tensor métrico de GR)?

Olvídate del tensor métrico. Echemos un vistazo al tensor de gración (posición),

[matemáticas] \ textbf {Q} = \ begin {bmatrix} q_ {1} ^ {2} & q_ {1} q_ {2} y q_ {1} q_ {3} \\\\ q_ {2} q_ { 1} y q_ {2} ^ {2} y q_ {2} q_ {3} \\\\ q_ {3} q_ {1} y q_ {3} q_ {2} y q_ {3} ^ {2} \ end {bmatrix} [/ math]

un tensor simétrico de rango 2 que describe la topología (forma) del espacio de posición y está construido a partir del producto tensor de sí mismo

[matemáticas] \ textbf {Q} = \ textbf {q} \ otimes \ textbf {q}. [/ math]

Usando la notación de Einstein, la traza del tensor de giro da el producto interno euclidiano,

[matemáticas] tr \ textbf {Q} = q_ {i} q ^ {i} = q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2} [/ matemáticas]

También podemos definir el momento análogo del tensor de giro donde reemplazamos [math] (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}) [/ math] con [math] (p_ {1}, p_ {2 }, p_ {3}) [/ math] que nos da un tensor simétrico de rango 2 que describe la forma del espacio de momento. Lo etiquetaremos [math] \ textbf {P} [/ math] y lo llamaremos tensor de giro de momento. Podemos diagonalizar tanto [math] \ textbf {P} [/ math] como [math] \ textbf {Q} [/ math] y proporcionar una correspondencia uno a uno entre sus valores propios y sus respectivas coordenadas de posición y momento. Por lo tanto, tenemos una transformación canónica de las coordenadas del espacio de fase [matemática] (\ textbf {p}, \ textbf {q}) [/ math] a coordenadas de un nuevo espacio [matemática] (\ textbf {P}, \ textbf {Q}) [/ math]; lo llamaremos espacio de gración.

El espectro de materia del universo observable está muy bien descrito por una ley de poder, [matemática] P (k) = Ak ^ {n} [/ matemática]. Sabemos por el teorema del continuo del gráfico, si tenemos una ley de potencia, digamos [matemáticas] P (k), [/ matemáticas] junto con

1. la condición límite [matemática] P (0) = 0 [/ matemática]
2. una matriz hermitiana [matemática] \ textbf {A} = \ textbf {A} ^ {\ dagger} [/ math] y;
3. trazabilidad [matemática] tr \ textbf {A} = 0 [/ matemática],

entonces [math] P (\ textbf {A}) [/ math] es un elemento del espacio de funciones [math] L ^ {2} [/ math]. Ahora buscamos una deformación del espacio de giro a un espacio de Hilbert. Solicitemos que desaparezca el rastro de [math] \ textbf {Q} [/ math],

[matemáticas] q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2} = 0. [/ matemáticas]

Este es un vector isotrópico, el ingrediente más simple requerido para construir los hiladores. Podemos usar el vector Pauli,

[math] \ mathbf {\ sigma} = \ sigma_ {1} e ^ {1} + \ sigma_ {2} e ^ {2} + \ sigma_ {3} e ^ {3} [/ math]

y reemplace [math] (\ textbf {P}, \ textbf {Q}) [/ math] con

[matemáticas] (\ textbf {p} \ cdot \ mathbf {\ sigma}, \ textbf {q} \ cdot \ mathbf {\ sigma}) = \ Bigg \ {\ begin {bmatrix} p_ {3} & p_ {1 } + ip_ {2} \\\\ p_ {1} – ip_ {2} & -p_ {3} \ end {bmatrix}, \ begin {bmatrix} q_ {3} & q_ {1} + iq_ {2} \\\\ q_ {1} – iq_ {2} & -q_ {3} \ end {bmatrix} \ Bigg \} [/ math]

y llámalo espacio de giro. Por lo tanto, [math] P (\ textbf {p} \ cdot \ mathbf {\ sigma}) [/ math] y [math] P (\ textbf {q} \ cdot \ mathbf {\ sigma}) [/ math] Un espacio de Hilbert.

Más bien notablemente, al reemplazar los vectores de posición y momento con sus respectivos equivalentes de tensor y luego usar el Teorema del Continuo del Gráfico para inferir la estructura de sus contrapartes cuantificadas, llegamos a un espacio en el que el espín emerge como un grado interno de libertad de momento y momento. ¡posición! Es decir, el giro no es un tipo de momento angular intrínseco, sino una propiedad fundamental de la posición y el momento en sí.