¿El cuatro potencial electromagnético se ajusta al tensor de energía de estrés en las ecuaciones de campo de Einstein? Si es así, ¿en qué parte del tensor encajan en las ecuaciones?

La fórmula para el tensor de energía de estrés electromagnético, suponiendo una convención métrica (+, -, -, -), es

[matemáticas] T ^ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {\ mu_0} \ left (F ^ {\ mu \ alpha} F ^ \ nu {} _ \ alpha – \ frac {1} {4} g ^ {\ mu \ nu} F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta} \ right) [/ math]

El tensor electromagnético [matemáticas] F _ {\ alpha \ beta} [/ matemáticas] viene dado por

[matemáticas] F _ {\ alpha \ beta} = \ partial_ \ alpha A_ \ beta – \ partial_ \ beta A_ \ alpha [/ math]

donde [math] A_ \ alpha [/ math] es el cuatro potencial. Tenga en cuenta que esta ecuación es generalmente covariante a pesar de que utiliza derivadas parciales. Puedes escribirlo en términos de derivadas covariantes, pero en este caso especial, todos los términos con símbolos de Christoffel se cancelan, y resulta que obtienes lo mismo que si solo usas derivadas parciales.

Por lo tanto, puede sustituir la segunda expresión en la primera para obtener el tensor electromagnético de tensión y energía en términos del potencial electromagnético de cuatro. El tensor electromagnético de la energía del estrés es un componente del tensor general de la energía del estrés en el lado derecho de las ecuaciones de campo de Einstein. Debe agregarlo a todas las otras contribuciones a la energía del estrés (como la de la materia, como por ejemplo , en un polvo o fluido perfecto) para obtener el tensor general de la energía del estrés. En GR, la energía y el momento del campo electromagnético se acoplan al campo gravitacional exactamente de la misma manera que el resto de la energía y el momento.

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