Las órbitas gravitacionales, en ausencia de otras fuerzas, son siempre estables. Ya hay varias buenas respuestas, pero voy a mostrarlas de una manera algo diferente.
La física por delante tiene matemáticas, así que ten cuidado.
Cuando hablamos de la energía de un objeto, a menudo dividimos esa energía en “energía cinética” y “energía potencial”. Además, puede dividir esas energías aún más: la “energía cinética” se puede dividir en energía cinética traslacional, rotacional y térmica, mientras que la “energía potencial” se puede dividir en contribuciones de varias fuerzas conservadoras diferentes.
En este caso, es posible reinterpretar parte de la energía cinética como si fuera energía potencial . Considere la energía total del sistema:
[matemáticas] \ begin {align *} E & = U (r) + \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ & = U (r) + \ frac {1} {2} m (v_ \ phi ^ 2 + v_r ^ 2) \\ & = \ left [U (r) + \ frac {1} {2} m v_ \ phi ^ 2 \ right] + \ frac {1} {2} m v_r ^ 2 \ end {align *} [/ math]
donde [matemática] U (r) [/ matemática] es la energía potencial gravitacional, [matemática] m [/ matemática] es la masa de la Tierra, [matemática] v_ \ phi [/ matemática] y [matemática] v_r [/ matemáticas] son los componentes tangenciales y radiales de la velocidad de la Tierra, y [matemáticas] v ^ 2 = v_ \ phi ^ 2 + v_r ^ 2 [/ matemáticas] por el teorema de Pitágoras.
Ahora, como la gravedad es una fuerza central en esta situación, no ejerce torque; Esto significa que el momento angular se conserva . Pero, el momento angular es
[matemáticas] L = mv_ \ phi r [/ matemáticas],
y así podemos reescribir
[matemáticas] \ frac {1} {2} m v_ \ phi ^ 2 = \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} [/ matemáticas]
donde [math] L [/ math] es alguna constante (potencialmente desconocida). ¿Por qué es útil esto? Porque ahora parte de la energía “cinética” puede escribirse únicamente en términos de posición radial, que suena más como una energía potencial . De hecho, podemos agrupar ese término con la energía potencial gravitacional real para obtener una energía potencial “efectiva”:
[matemáticas] U_ \ text {eff} (r) = – \ frac {GM m} {r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} [/ math]
(donde [matemáticas] M [/ matemáticas] es la masa del Sol) con la energía cinética efectiva restante:
[matemáticas] K_ \ text {eff} = \ frac {1} {2} m v_r ^ 2 [/ matemáticas].
Bueno, mira eso! ¡Solo tomamos un problema tridimensional (bueno, un poco bidimensional) y lo convertimos en un problema unidimensional! La variable restante, [matemáticas] r [/ matemáticas], variará con el tiempo exactamente de la misma manera que lo haría en el contexto del movimiento unidimensional con una función de energía potencial [matemáticas] U_ \ text {eff} (r )[/matemáticas].
Entonces, ¿cómo se relaciona esto con el problema? Bueno, “ir en espiral hacia el centro” correspondería a [matemática] r \ a 0 [/ matemática], y queremos ver si eso es algo que podría suceder en este potencial. Entonces, veamos ese potencial nuevamente:
[matemáticas] U_ \ text {eff} (r) = – \ frac {GM m} {r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} [/ math].
Tenemos un término positivo y un término negativo, pero tienen una dependencia diferente de [matemáticas] r [/ matemáticas]. Ambos se vuelven infinitos como [matemática] r \ a 0 [/ matemática], pero el término positivo se vuelve infinito más rápido , a menos que [matemática] L = 0 [/ matemática]. Si elige números para las variables y traza el resultado, verá que se necesitaría energía infinita para llevar [matemática] r [/ matemática] a cero, a menos que [matemática] L = 0 [/ matemática]. ¿Qué significa esto? Bueno, básicamente es solo una declaración matemática de lo que otros ya han dicho: no tendrías que tener velocidad tangencial (“orbital”) y “caer directamente”, para que esto suceda.
Por supuesto, el sol no es una partícula puntual, y la suposición de par cero se rompe si atraviesas la atmósfera estelar, pero eso sucedería en la primera órbita o no; no “entraría en espiral”.
Es un poco más de trabajo, pero en realidad puede demostrar que las órbitas son más estables que ese requisito (más bien laxo): si “empuja” un planeta en órbita, desplazándolo ligeramente de su órbita, el sistema responde empujando / tirando del planeta de vuelta hacia su órbita anterior. Es realmente bastante difícil cambiar la órbita de algo sin cambios considerables en su energía.
Argumentos similares, con un poco de juego de pies elegante adicional, pueden generalizar esto a otras leyes de fuerza: si tiene una fuerza central atractiva
[matemáticas] F (r) \ propto -r ^ {n} [/ matemáticas],
con [math] n> -3 [/ math], entonces las órbitas producidas por esa fuerza son automáticamente estables. Para la gravedad, [matemáticas] n = -2 [/ matemáticas], y eso está incluido. Curiosamente, este análisis más general también nos da órbitas de “fuerza de resorte” de forma gratuita ([matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]).
Entonces, afortunadamente, las órbitas gravitacionales son bastante estables; ¡ningún asteroide que pase puede empujarnos gravitacionalmente hacia nuestra perdición, ya sea de la variedad ardiente o helada!