TL; DR
El electrón obtiene su carga al acoplarse al campo electromagnético. Creemos que la fuerza de este acoplamiento (magnitud de la carga) debe ser tal que cancele con precisión las otras cargas en su generación.
¡Hola! Buena pregunta.
Me gustaría asumir cierta familiaridad por parte del lector con el cálculo al responder esta pregunta, específicamente la diferenciación. Si mi suposición es ignorante o falsa, es posible que simplemente tengas que confiar en mis manipulaciones matemáticas.
Esta discusión no abordará las cargas de los bosones de vectores pesados que median la interacción débil. Eso está muy fuera del alcance de esta pregunta.
Hay un concepto fundamental en la física que aparentemente gobierna la evolución de la naturaleza, el Principio de la menor acción. Básicamente dice que hay una cantidad en cada sistema llamada acción que es estacionaria bajo variaciones de primer orden. La acción, [matemática] S [/ matemática], se define de la siguiente manera:
[matemáticas] S = \ int_ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} Ldt [/ matemáticas],
donde la “L” mayúscula es el lagrangiano único del sistema. El principio de menor acción se puede establecer matemáticamente:
[matemáticas] \ delta S = \ delta \ int_ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} Ldt = 0 [/ matemáticas]
De esto, se puede derivar un conjunto de ecuaciones diferenciales llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange:
[math] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} _ {i}} \ right) = \ frac { \ partial L} {\ partial q_ {i}} [/ math].
Existe una de estas ecuaciones para cada coordenada generalizada [matemáticas] q_ {i} [/ matemáticas]. Si se conoce el lagrangiano, entonces estas ecuaciones pueden evaluarse para dar un conjunto de ecuaciones diferenciales de movimiento que describen la evolución temporal del sistema. Dado un conjunto de condiciones iniciales, el comportamiento es único.
Hasta ahora, la discusión ha sido bastante clásica. Sin embargo, el origen de la carga es un asunto del reino cuántico. Las energías a esta escala también requieren consideraciones relativistas. Así, pasamos a la teoría cuántica de campos. Nos gustaría utilizar el principio de menor acción aquí, pero la relatividad nos enseña a tratar el espacio y el tiempo por igual, por lo que las derivadas deben reflejar eso. Las ecuaciones de Euler-Lagrange se transforman de la siguiente manera:
- Lagrangiana [matemática] L [/ matemática] se convierte en la densidad lagrangiana [matemática] \ matemática {L} [/ matemática], que como es de esperar, es lagrangiana por unidad de volumen.
- Las derivadas de tiempo se convierten en cuatro gradientes, [matemática] \ parcial _ {\ mu} [/ matemática].
- Las “coordenadas” se convierten en “campos”, [matemáticas] \ phi_ {i} [/ matemáticas]
La generalización relativista de las ecuaciones de Euler-Lagrange es, entonces,
[matemática] \ parcial _ {\ mu} \ izquierda (\ frac {\ parcial \ matemática {L}} {\ parcial \ izquierda (\ parcial _ {\ mu} \ phi_ {i} \ derecha)} \ derecha) = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ phi_ {i}} [/ math].
La densidad lagrangiana para cualquier fermión spin-1/2 libre está dada por el Dirac Lagrangian (densidad lagrangiana – De ahora en adelante, el término “Lagrangian” se referirá a la densidad):
[matemáticas] \ matemáticas {L} = \ bar {\ psi} \ izquierda [i \ izquierda (\ hbar c \ derecha) \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} -mc ^ {2} \ derecha] \ psi [/ matemáticas].
[Math] \ psi [/ math] es el campo spinor del fermión en cuestión, y [math] \ gamma ^ {\ mu} [/ math] es una matriz de Dirac (si no está familiarizado con estos, yo implorarle que haga referencia a la entrada apropiada de Wikipedia). Si este lagrangiano se conecta a la ecuación generalizada de Euler-Lagrange, se puede encontrar la ecuación de Dirac de partículas libres (en realidad, depende del campo con el que decidimos trabajar; el spinor adjunto nos dará la ecuación de Dirac, mientras que el spinor en sí mismo producirá el adjunto de la ecuación de Dirac).
Ahora pensemos qué simetrías tiene esta ecuación. ¿Cómo podemos transformar el campo spinor para que las ecuaciones de movimiento no cambien? Resulta que el Dirac Lagrangiano es invariante bajo las transformaciones globales U (1), las de la forma
[matemáticas] \ psi \ rightarrow e ^ {i \ theta} \ psi [/ matemáticas], o
[math] \ bar {\ psi} \ rightarrow e ^ {- i \ theta} \ bar {\ psi} [/ math].
Es un ejercicio simple pero importante para probar esto. Esto gira todo el espacio en algún ángulo [matemática] \ theta [/ matemática], pero eso no significa mucho, ¿verdad? Girar todo el espacio equivale a buscar en el mismo sistema una posición diferente. Vamos a imponer una condición un poco más fuerte, ¿de acuerdo? Supongamos que el ángulo es una función de la posición en el espacio-tiempo,
[matemáticas] \ theta \ rightarrow \ theta \ left (x ^ {\ mu} \ right) [/ math],
para que apliquemos una transformación de fase local :
[matemáticas] e ^ {i \ theta} \ rightarrow e ^ {i \ theta \ left (x ^ {\ mu} \ right)} [/ math].
Esto crea un problema! Hay un nuevo término como resultado de la derivada del ángulo:
[math] \ mathcal {L} \ rightarrow \ mathcal {L} – \ hbar c \ left (\ partial _ {\ mu} \ theta \ right) \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi [/ matemáticas]
¿Cómo resolveremos esto?
Bueno, para simplificar, introduzcamos una nueva variable,
[matemáticas] \ lambda \ left (x \ right) = – \ frac {\ hbar c} {q} \ theta \ left (x \ right) [/ math],
donde q es algún tipo de factor de escala. El lagrangiano se convierte
[math] \ mathcal {L} \ rightarrow \ mathcal {L} + \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) \ partial _ {\ mu} \ lambda \ left (x \ right) [/ math].
Si exigimos la invariancia local del calibre U (1), debemos encontrar algo para explicar el término adicional que introdujimos. Esto, naturalmente, nos alejará del Dirac Lagrangian libre . Supongamos que agregamos un término de la forma [math] – \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) A _ {\ mu} [/ math], para algún campo vectorial [math ] A _ {\ mu} [/ math] que se transforma como [math] A _ {\ mu} \ rightarrow A _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ lambda [/ math].
Este término compensará exactamente el término extra en nuestro Lagrangiano localmente invariante de fase. Sin embargo, este nuevo término incluye nuestro campo de spinor fermiónico y el nuevo campo de vector; Es un término de interacción. Requerimos un término de “campo libre” para un lagrangiano completo. Como campo vectorial, [math] A _ {\ mu} [/ math] debe ser descrito por Proca Lagrangian para los bosones spin-1:
[matemáticas] \ matemáticas {L} = – \ frac {1} {16 \ pi} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {8 \ pi} \ left (\ frac {m_ {A} c} {\ hbar} \ right) ^ {2} A ^ {\ mu} A _ {\ mu} [/ math], donde
[matemáticas] F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} – \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) [/ math] .
Sin embargo, surge otro problema: si bien el primer término es localmente invariable, el segundo término no lo es. ¡Entonces el campo vectorial no debe tener masa! Ahora, agregando el Dirac Lagrangian libre, el Proca Lagrangian para un campo vectorial sin masa y el término de interacción, obtenemos el Lagrangian electromagnético completo:
[matemáticas] \ matemáticas {L} = \ bar {\ psi} \ izquierda [i \ izquierda (\ hbar c \ derecha) \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} -mc ^ {2} \ derecha] \ psi- \ frac {1} {16 \ pi} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} – \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right ) A _ {\ mu} [/ math].
El primer término representa fermiones de spin-1/2 libre. El segundo representa los bosones spin-1 libres que interactúan con los fermiones por medio del tercer término. Estos bosones sin masa son, como resulta, fotones, que median las interacciones electromagnéticas entre partículas cargadas. El campo vectorial [matemáticas] A _ {\ mu} [/ matemáticas] es el potencial electromagnético, que era solo un truco matemático en la electrodinámica clásica, pero aquí es una cantidad más fundamental. Y como habrás adivinado, [math] F ^ {\ mu \ nu} [/ math] es el tensor de campo, que contiene toda la información sobre los campos eléctricos y magnéticos.
Ahora volvamos a la pregunta original: ¿qué le da a un electrón su carga? ¿Recuerdas q, ese pequeño factor de escala que mencioné anteriormente? Eso resulta ser la carga de los fermiones que interactúan. ¿Te das cuenta de que solo aparece en el término de interacción? La carga de una partícula es precisamente la fuerza con la que se une a los fotones, los cuantos del campo electromagnético. Pero, ¿por qué es “negativo”? Eso es un poco más complicado de explicar. Aproximadamente, las teorías de unificación estándar requieren que las cargas en cada generación sumen cero para cancelar ciertas anomalías, infinitos que aparecen en los cálculos de cantidades que deben ser finitas. Entonces, para dos quarks (carga 2/3 y -1/3), cada uno de los tres “colores” de la fuerza fuerte, un leptón neutral (los neutrinos) y un leptón cargado (por ejemplo, el electrón, carga -1), obtener 3 * (2/3 + -1/3) +0+ -1 = 0. Verificar. La carga del electrón (muon, tau) debe cancelar exactamente la suma de todos los otros fermiones en su generación. Todavía hay muchas preguntas sobre los detalles, pero muchos GUT existentes postulan que la asignación de cargas a partículas elementales es parte de algunas de simetría aún no observada.
En resumen : el electrón obtiene su carga mediante el acoplamiento al campo electromagnético. Creemos que la fuerza de este acoplamiento (magnitud de la carga) debe ser tal que cancele con precisión las otras cargas en su generación.
