Voy a suponer que las llantas del auto no están resbalando, y que toda la aceleración es el resultado de fuerzas de fricción.
La aceleración del automóvil se puede dividir en dos componentes.
- Aceleración centrípeta.
La respuesta de Steve Schafer cubre esto bien. En cualquier momento dado, la aceleración hacia el centro del círculo es [matemática] v ^ 2 / r [/ matemática].
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- Aceleración tangencial.
Esta es la aceleración en la dirección del movimiento , en oposición al centro del círculo. Esto no es cero porque la velocidad no es constante. El problema en sí mismo nos dice que esta aceleración es [matemática] a [/ matemática].
Luego necesitamos combinar estos dos componentes de la aceleración en una aceleración total. Afortunadamente, un componente se dirige a lo largo del radio del círculo (la aceleración centrípeta) mientras que el otro es tangencial. Esto significa que están en ángulo recto entre sí, por lo que simplemente podemos usar el Teorema de Pitágoras:
Aceleración total [matemática] = \ sqrt {(v ^ 2 / r) ^ 2 + a ^ 2} [/ matemática].
La fuerza es solo la masa multiplicada por la aceleración, y así
[matemáticas] F = M \ sqrt {(v ^ 2 / r) ^ 2 + a ^ 2} [/ matemáticas].
Nada después de este punto es realmente necesario para la pregunta que se hace, pero creo que es genial que pueda expresarse de una manera tan simple.
Supongamos que [matemática] a [/ matemática] es una constante y que el automóvil comenzó desde el reposo en el momento [matemática] t = 0 [/ matemática]. Entonces podemos escribir [math] v = en [/ math], y el resultado se simplifica a
[matemáticas] F = M a \ sqrt {1 + (en ^ 2 / r) ^ 2} [/ matemáticas].
Ah, pero [matemática] a ^ 2 [/ matemática] debería hacer sonar las campanas desde la cinemática … es el doble de la distancia recorrida por un objeto a partir del reposo. Al dividir entre [math] r [/ math] se obtiene el ángulo del arco recorrido desde el inicio. Entonces, podríamos escribir esto como
[matemáticas] F = M a \ sqrt {1 + 4 \ theta ^ 2} [/ matemáticas]
donde [math] \ theta [/ math] es la cantidad total de distancia angular recorrida por el automóvil desde que comenzó.
Quizás soy raro, pero este resultado me parece agradable. 🙂
