Física: ¿Se puede expresar el factor de Lorentz como un exponente?

Hay otra variable, llamada rapidez, que puede expresarse como un exponente real, de la misma manera que los ángulos en radianes a menudo se expresan como exponentes imaginarios. Definimos la rapidez como [matemáticas] \ varphi = \ tanh ^ {- 1} {\ left (\ frac {v} {c} \ right)} [/ math] y, mientras que [math] \ frac {v} {c } [/ math] da un número entre -1 y 1, la rapidez da un número entre [math] – \ infty [/ math] y [math] \ infty [/ math]. Al igual que el ángulo en radianes de un círculo unitario es igual al área barrida en un círculo unitario por un segmento de línea recta que gira a través de ese cambio de ángulo, la rapidez se puede visualizar cuando el área barrida a lo largo de una hipérbola unitaria por un segmento de línea recta, girando a través de ese cambio de rapidez.

Cuando define esta variable, rapidez, de repente tiene acceso a las siguientes simplificaciones en matemáticas.

(1) [matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ 2}} = \ cosh {(\ varphi)} = \ gamma [/ matemáticas]

(2) [matemáticas] \ frac {v / c} {\ sqrt {1- (v / c) ^ 2}} = \ sinh {(\ varphi)} = \ beta \ gamma [/ matemáticas]

Es posible que esté familiarizado con la igualdad de triángulos que relaciona el momento [matemática] p [/ matemática], la energía total [matemática] E [/ matemática] y la energía de masa en reposo [matemática] mc ^ 2 [/ matemática]. Si es así, puede ver que la ecuación [matemáticas] E ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2 [/ matemáticas] se convierte en

donde [matemática] E = \ gamma mc ^ 2 [/ matemática], [matemática] p = m \ beta \ gamma c = mc \ sinh ^ 2 {(\ varphi)} [/ matemática]

[matemáticas] (mc ^ 2) ^ 2 \ cosh ^ 2 (\ varphi) = (mc ^ 2) ^ 2 + (mc ^ 2) ^ 2 \ sinh ^ 2 (\ varphi) [/ math]

o si divide entre [matemáticas] (mc ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas], obtendrá la identidad hiperbólica más familiar:

[matemáticas] \ cosh ^ 2 (\ varphi) = 1 + \ sinh ^ 2 (\ varphi) [/ matemáticas]

Entonces, aunque [math] \ gamma [/ math] no es un exponente en ninguno de estos cálculos, la rapidez se convierte en un exponente que es útil en el cálculo [math] \ gamma [/ math]

Otra cosa interesante que involucra exponentes es que tomar [math] \ mathrm {MatrixExponential} {\ begin {pmatrix}
a B C D
\ end {pmatrix}} [/ math], esto parece extraño, pero es un Matrix Exponencial, y sorprendentemente, puedes usar la expansión de la serie Taylor o Maclaurin de [math] e ^ x [/ math] para expandir esto usando multiplicación matricial estándar, y si usa la combinación correcta de [matemáticas] \ varphi [/ matemáticas], 0 y [matemáticas] – \ varphi [/ matemáticas] para [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas], y [math] d [/ math], generará la matriz de transformación de rotación bidimensional alrededor de un ángulo, [math] \ varphi [/ math] en radianes (que técnicamente no tiene unidades) o la matriz de transformación de Lorentz, con un rapidez, [matemáticas] \ varphi [/ matemáticas] … que también es sin unidades.

Animación encontrada por Sam Derbyshire: Archivo: HyperbolicAnimation.gif

Si el punto azul izquierdo en el diagrama está trazado en las coordenadas [matemáticas] (1, v / c) [/ matemáticas], entonces el punto azul derecho está en las coordenadas [matemáticas] (\ cosh (\ varphi), \ sinh (\ varphi )) = (\ gamma, \ beta \ gamma) [/ math]; donde [matemáticas] \ beta = v / c = \ tanh {(\ varphi)}, \; \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ 2}} = \ cosh (\ varphi) [/ math]

Si lo considera como una función de la velocidad, entonces está muy lejos de ser una función polinómica o incluso exponencial. Infinitamente lejos, de hecho. El factor de Lorenz va al infinito a velocidad finita, mientras que los polinomios de cualquier grado, y también exponenciales, son finitos para argumentos finitos. Por supuesto, puede encontrar una aproximación polinómica, pero dicha aproximación es buena solo para velocidades más bajas y siempre se romperá cuando se acerque a la velocidad de la luz. La primera aproximación sería

[matemáticas] \ displaystyle \ gamma \ aprox 1 + \ frac {1} {2} \ left (\ frac {v} {c} \ right) ^ 2 [/ math]

que conduce a la expresión de la energía relativista como

[matemática] \ displaystyle E = \ gamma m_0c ^ 2 \ aprox m_0c ^ 2 + \ frac {1} {2} m_0v ^ 2 [/ matemática]

donde en el segundo término reconoces la energía cinética clásica. Esta expresión es buena a mejor que 1% hasta velocidades de aproximadamente 0.4 c .

Es otra historia si mides la velocidad de manera diferente. Si en lugar de velocidad usa una cantidad llamada Rapidez definida como

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {v} {c} = \ tanh \ eta [/ math]

entonces el factor de Lorenz se convierte en coseno hiperbólico de rapidez, y el coseno hiperbólico se acerca a la función exponencial para grandes argumentos. Entonces, si usa rapidez en lugar de velocidad, entonces sí, puede expresar el factor de Lorenz como función exponencial.

vea los resultados con la prueba de que las leyes de física del espacio-tiempo siguen siendo universales bajo la transformación generalizada de lorentz. la velocidad de la luz ya no es el límite superior

Una sola ley de transformación universal para 4 vectores y tensores

Lo que escribió no es lo que quiso decir y lo que quiso decir no es físico y, por lo tanto, no tiene sentido en este contexto.

El origen del gráfico es 0,0, por lo que su hipotética como se indicó ya es lo que tiene. Lo que querías decir es qué pasa si el valor de γ comenzó en 0. Esto no es posible, si γ no es 1 cuando la velocidad es 0, no tiene sentido físico.

Lo que puede hacer es definir γ ‘como γ-1, luego la gráfica de γ’ vs velocidad comenzará en 0,0 y tendrá exactamente la misma forma que γ vs velocidad.

“Imagínense que podríamos”?

¿Qué quieres decir con eso?

En cualquier caso, la dilatación del tiempo es asintótica con respecto a la velocidad, que no es una propiedad de una ley cuadrática.