Hablemos de sushi, porque me gusta el sushi. Mi tienda de sushi favorita vende sushi por cincuenta centavos cada uno. Lo hace tan regularmente que tengo una pequeña ecuación: [matemáticas] y = 2x [/ matemáticas], donde [matemáticas] y [/ matemáticas] es la cantidad de piezas de sushi que obtengo por gastar [matemáticas] x [/ matemáticas] dolares
Así que un día camino a la tienda, pongo dos piezas de sushi en el mostrador y le pido un dólar al tipo. “¿Qué?” él dice. “Es todo lo mismo, ¿verdad?” Pregunto. “Tomo dos piezas negativas de sushi y pago un dólar negativo, ¡así que dame un dólar ahora!”
Cada ecuación tiene un dominio de aplicabilidad . Incluso la ecuación de sushi anterior no es universal. Obviamente no funciona para números negativos, como hemos visto. Es posible que no funcione si lo escalo hasta mil piezas de sushi, ya que podría obtener un descuento (¡ciertamente lo espero!).
Para un ejemplo mucho mejor de este tipo de cosas, te presento un tema de estudio mucho más práctico:
… en realidad, es probable que me acerque tanto a una gran cantidad de riqueza como a un agujero negro real. ¡Pero todos aprendamos algo hoy! Se llama la regla del 72.
Suponga que tiene una cuenta bancaria (u otra inversión) que ofrece un cierto porcentaje de interés compuesto, por ejemplo, 2% anual. La Regla del 72 dice que, si deposita un depósito en esa cuenta, el número de años que le toma a su dinero duplicarse es 72 dividido por el porcentaje de interés. Por lo tanto, el dinero tarda 36 años en duplicarse en una cuenta anual del 2%, 24 años en una cuenta del 3%, y así sucesivamente.
“Pero espera”, protestas, “¡eso no está bien! Si tengo una cuenta anual del 100%, la Regla del 72 dice que solo toma 0,72 años duplicarse, ¡pero obviamente lleva un año!” Si, si lo hace. Acaba de descubrir que la Regla del 72 se rompe cuando la tasa de porcentaje excede una cierta cantidad.
En ese caso, ¿por qué alguien usaría la Regla del 72? Déjame comenzar mostrándote la regla exacta:
[matemáticas] T = \ frac {\ ln 2} {\ ln (1 + r)} [/ matemáticas]
La “Regla del registro 2 dividido por el registro 100 + X” simplemente no tiene ese atractivo tono. ¿Por qué exactamente? Porque
- La regla del 72 tiene un dominio útil . Las mejores inversiones van a tener, ¿qué, 20-30% de retorno de la inversión por año? (Si sabes algo mejor, envíame un correo electrónico. Especialmente si eres un príncipe etíope que busca depositar un tesoro no especificado en secreto.) Dentro de ese rango, la Regla del 72 es lo suficientemente precisa. La desventaja es que funciona mal cuando considera la hipotética inversión de 3,5 veces por año, pero ¿con qué frecuencia hacemos eso? Las reglas simples a menudo funcionan dentro de un dominio útil y se desmoronan fuera de él, también porque:
- La regla del 72 es computacionalmente barata . Claro, la regla de Log 2 Etcetera es mucho más precisa, pero rápido, ¡dime el logaritmo natural de 104! Bien, Richard Feynman, puedes bajar tu mano zombie ahora, el resto de nosotros no tenemos ninguna posibilidad de calcularlo mentalmente en un período de tiempo razonable. Es mucho más fácil dividir 72 por 4 que seguir la regla de registro lo que sea. De hecho, incluso una Regla del 69 es más precisa, aunque más lenta, que una Regla del 72, porque 72 tiene muchos factores enteros. Y si bien una Regla del 69 sería más precisa (y se prestaría a juegos de palabras mucho más fuera de color), nunca se daría cuenta porque:
- La regla del 72 tiene suficiente precisión . Cuando se entera por primera vez de las inversiones, desea tener una idea aproximada de la rapidez con la que pueden acumularse sus finanzas. Desea saber que una inversión de 6% de interés anual puede superar drásticamente a una inversión de 3%, o que incluso una deuda de 2% puede disparar si aplaza los pagos suficientes; no le preocupa saber si una inversión de 5% se duplicará en 14.4 años o 14.2 años. Si le preocupaban los meses y días, por supuesto, (1) no estaría hablando en términos de tasa de interés anual (la precisión y el dominio de uso a menudo están relacionados) y (2) estaría usando una computadora para hacer sus cálculos para tú.
Al igual que la Regla del 72, todas las ecuaciones científicas tienen (1) un dominio útil [con suerte amplio], (2) un costo computacional [con suerte bajo] y (3) una precisión [con suerte alta]. Elegir estos a menudo es una compensación cuidadosa. Hay muchas ecuaciones que son simples y precisas en un dominio bastante estrecho, pero tienden a ser más útiles para los ingenieros, ya que se enfrentan a un rango de parámetros bastante estrecho.
En la práctica, la mayoría de las ecuaciones científicamente útiles tienen un dominio de uso bastante amplio, pero luego vienen en dos variedades particulares: precisas, pero computacionalmente costosas, y rápidas pero imprecisas. La segunda variedad, entonces, es una aproximación de la primera variedad, y a menudo la segunda variedad también se vuelve más imprecisa a medida que un valor particular se acerca a un extremo (lo que significa que la segunda variedad tiene un dominio de uso más estrecho; esta no es una clasificación difícil y rápida) ) En finanzas, la Regla del 72 es una Regla estrecha, imprecisa, pero mucho, mucho más rápida que la Regla de lo que sea.
Esto también ocurre en física, a menudo con fenómenos sorprendentemente fundamentales. Si conduce a 30 km / hy un automóvil viene hacia usted a 30 km / h, es lo mismo que si estuviera parado y el otro automóvil se acercara a usted a 60 km / h, ¿verdad? Pero incluso algo tan simple como [matemática] v = v_1 + v_2 [/ matemática] no funciona una vez que su velocidad es lo suficientemente alta: es la versión barata y alegre, realmente rápida y bastante precisa pero más imprecisa a medida que aumenta la velocidad hacia el velocidad de la luz, y finalmente completamente equivocada. Resulta que la ecuación real, mucho más complicada, sin embargo se parece lo suficiente a [math] v = v_1 + v_2 [/ math] a velocidades pequeñas que simplemente podemos usar. Pero si maneja electrones en lugar de automóviles, y van a la mitad de la velocidad de la luz en lugar de unos pocos golpes por hora, es mejor que conozca su relatividad especial de adentro hacia afuera.
Cuando alguien dice “nuestra teoría se desmorona a medida que los agujeros negros se hacen más pequeños”, por lo tanto, esto es más o menos lo que significan:
“Aquí hay ecuaciones que tenemos, que dependen del tamaño del agujero negro [matemáticas] r [/ matemáticas]. Y cuando [matemáticas] r [/ matemáticas] es un tamaño razonable, nuestras ecuaciones predicen algunos resultados bastante interesantes, que los astrónomos podrían detectar si apuntan sus telescopios a un agujero negro típico (sospechoso) en el cielo, pero ya saben, si dejamos que [matemática] r [/ matemática] sea demasiado pequeña, algunas partes de nuestras ecuaciones no En suma, los bits que se supone que son positivos se vuelven negativos, o algunas fracciones se convierten en divisiones por cero. Así que estamos bastante seguros de que existe una mejor teoría para los agujeros negros, que es más precisa para los agujeros negros más pequeños, pero también estamos seguros de que en un agujero negro de tamaño razonable esa teoría se parece lo suficiente a lo que tenemos, de modo que lo que tenemos sigue siendo útil “.
En cuanto a qué es exactamente lo que se descompone, no lo sabría a menos que tenga más detalles técnicos, pero esa es la esencia general.
