¿Qué tan pequeño puede ser un agujero negro? Si es así, ¿cuáles son las matemáticas involucradas?

Hay dos formas de interpretar esta pregunta: 1) ¿Qué tan pequeño es el agujero negro más pequeño que se puede formar en un proceso físico? O 2) ¿Qué tan pequeño puede ser un agujero negro, sin importar cómo se forme?

La respuesta a la primera pregunta no se conoce muy bien, porque depende de cómo la fuerza de la gravedad equilibre la repulsión entre las partículas elementales en circunstancias extremas, como el interior profundo de una estrella enana o una estrella de neutrones. Puede encontrar una fórmula cruda en Wikipedia que dice, con unidades restauradas:

[matemáticas] M = \ sqrt {\ dfrac {\ hbar ^ 3c ^ 3} {G ^ 3}} \ dfrac {1} {m ^ 2}, [/ matemáticas]

donde [math] m [/ math] es la masa de la partícula elemental de la que está compuesta la estrella, [math] \ hbar [/ math] es la constante reducida de Planck, [math] G [/ math] es la constante de Newton de gravedad y [matemáticas] c [/ matemáticas] es la velocidad de la luz. Cuando conecta la masa del neutrón, la fórmula produce aproximadamente [matemáticas] M = 3.4 \ veces 10 ^ {30} ~ {\ rm kg} [/ matemáticas], o aproximadamente 1.7 veces la masa del Sol; Esto es consistente con las estimaciones que oscilan entre 1,5 y 3 masas solares. (Sabemos que el valor real debe ser más de 2 masas solares, ya que conocemos estrellas de neutrones que son tan masivas y no se han colapsado en un agujero negro).

La respuesta a la segunda pregunta es que un agujero negro no puede ser realmente más pequeño que su longitud de onda Compton (reducida); de lo contrario, no podría limitar su masa dentro de su radio Schwarzschild. La longitud de onda de Compton viene dada por [math] \ lambda = \ hbar / Mc [/ math]; el radio de Schwarzschild es [matemático] R = 2GM / c ^ 2 [/ matemático]; equiparando [math] \ lambda [/ math] con [math] R [/ math] y resolviendo para [math] M [/ math] rendimientos

[matemáticas] M = \ sqrt {\ dfrac {\ hbar c} {2G}}, [/ matemáticas]

o [math] M \ sim 1.5 \ times 10 ^ {- 8} ~ {\ rm kg} [/ math], que es [math] 1 / \ sqrt {2} [/ math] veces la masa de Planck.