En mecánica clásica, la energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por:
[matemáticas] K = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \ Rightarrow v = \ sqrt {\ frac {2K} {m}} = \ sqrt {\ frac {2 (EU)} {m}} [/ matemáticas]
En relatividad especial, la ecuación para la energía se modifica:
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[matemáticas] E ^ 2 = m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2 c ^ 2 \ Rightarrow E = \ displaystyle \ frac {mc ^ 2} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2 }}} [/matemáticas]
He utilizado el hecho de que [matemáticas] p = \ frac {mv} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]. Podemos resolver la velocidad:
[matemáticas] v = c \ sqrt {1- \ frac {m ^ 2 c ^ 4} {E ^ 2}} [/ matemáticas]
En mecánica cuántica, podemos definir un operador de velocidad [matemática] \ hat {v} \ equiv \ frac {\ hat {p}} {m} [/ math]. Esto significa que podemos reescribir nuestro Hamiltoniano en términos del operador de velocidad:
[matemáticas] \ hat {H} = \ frac {1} {2} m \ hat {v} ^ 2 + \ hat {V} [/ math]
Si el potencial [math] \ hat {V} = 0 [/ math], entonces podemos relacionar fácilmente los valores propios de [math] \ hat {H} [/ math] con los valores propios de [math] \ hat {v} [/matemáticas]:
[matemáticas] v_k = \ sqrt {\ frac {2E_k} {m}} [/ matemáticas]
Si el potencial no es cero, entonces el problema es un poco más complicado, pero se puede hacer.
En relatividad general, podemos definir un objeto llamado las cuatro velocidades de tal manera que:
[matemáticas] u ^ {\ mu} = \ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ tau} [/ matemáticas]
[matemáticas] g _ {\ mu \ nu} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} = – 1 [/ matemáticas]
Para un objeto que se mueve con ímpetu [matemáticas] p ^ {\ mu} [/ matemáticas] en nuestro marco de descanso, un observador que se mueve con una velocidad de 4 velocidades [matemáticas] u ^ {\ mu} [/ matemáticas] según nosotros medirá La energía del objeto en movimiento como:
[matemáticas] E = – g _ {\ mu \ nu} p ^ {\ mu} u ^ {\ nu} [/ matemáticas]
