El principal esfuerzo de Maxwell con sus ecuaciones fue reunir lo que otras personas ya habían hecho, en experimentos y teorías separadas.
De Faraday, obtuvo el concepto de un “campo”, y trabajó con él matemáticamente.
De Gauss, obtuvo dos leyes que relacionan la fuerza de los campos eléctricos y magnéticos con la carga eléctrica y magnética en ellos:
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ frac {\ rho} {\ epsilon_0} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 [/ matemáticas].
El lado derecho de las dos ecuaciones se relaciona con la densidad de carga eléctrica [math] \ rho [/ math] y un factor determinado experimentalmente [math] \ epsilon_0 [/ math]. La densidad de carga magnética es cero lo mejor que podemos decir. Si lo hubiera, entonces habría una expresión similar en el lado derecho de las segundas ecuaciones. El operador [math] \ del \ cdot [/ math] es el operador de “divergencia”, y mide la diferencia entre cuánto señala el campo alrededor de un punto “adentro” o “afuera”. El campo eléctrico diverge alrededor de una carga, el campo magnético nunca diverge.
De Faraday, obtuvo una ley de inducción, que relaciona el campo eléctrico con el campo magnético:
[math] \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t} [/ math]
El lado derecho es qué tan rápido cambia el campo magnético con el tiempo, mientras que el lado izquierdo es el “rizo” del campo eléctrico: cuánto gira el campo en círculos alrededor del punto dado, aproximadamente. En general, establece que un campo magnético cambiante causará un campo eléctrico cambiante.
De Ampere, obtuvo una “ley circuital”, que relaciona el campo magnético con una corriente eléctrica que fluye:
[math] \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu_0 \ mathbf {J} [/ math]
El [math] \ mathbf {J} [/ math] en el lado derecho es la corriente eléctrica, o una medida de cómo fluye la carga eléctrica de un lugar a otro. Lo que dice esta ley es que las cargas en movimiento crean un campo magnético.
La principal adición de Maxwell a esto fue darse cuenta de que la ley de Ampere no era completamente correcta, que tenía que haber un componente adicional relacionado con un campo eléctrico cambiante. El problema con la ley de Ampere es que la divergencia de un rizo es cero (un hecho matemático), por lo que al tomar la divergencia de la Ley de Ampere, obtienes:
[matemáticas] \ begin {align} \ nabla \ times \ mathbf {B} & = \ mu_0 \ mathbf {J} \\ \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {B}) & = \ mu_0 \ nabla \ cdot \ mathbf {J} \\ 0 & = \ mu_0 \ nabla \ cdot \ mathbf {J} \ end {align} [/ math]
Pero debido a la conservación de la carga, tiene [math] \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = – \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} [/ math] – la divergencia de la corriente eléctrica es qué tan rápido La densidad de carga eléctrica está cambiando. Si la densidad de carga está cambiando (por ejemplo, moviéndose de un lugar a otro), la divergencia de la corriente no puede ser cero. Entonces la Ley de Ampere es un brindis.
Esto se puede solucionar agregando un término relacionado con el campo eléctrico cambiante, para obtener una Ley de Amperaje de Maxwell modificada:
[math] \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu_0 (\ mathbf {J} + \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t} [/ math]
El término adicional dice que cuando el campo eléctrico cambia, provoca un cambio en el campo magnético.
Entonces, ¿qué sucede cuando no hay cargo? En cuyo caso, las dos leyes de divergencia van a cero y no hay corriente. Es solo el campo magnético cambiante y el campo eléctrico cambiante.
Para hacer las cosas simétricas, usemos el “campo de magnetización”, [math] \ mathbf {H} = \ frac {1} {\ mu_0} \ mathbf {B} [/ math], en lugar del campo magnético. Al aplicar esas sustituciones, obtienes:
[math] \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ mu_0 \ frac {\ partial \ mathbf {H}} {\ partial t} [/ math]
[math] \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t} [/ math]
Maxwell no usó esa notación (la notación vectorial anterior no se inventaría hasta después de su muerte), y utilizó mucho los cuaterniones en su formulación. Pero reconoció que esas dos ecuaciones se combinaron para describir un par de ondas viajeras en el espacio, cada una proporcional a la otra, en ángulo recto entre sí, y viajando a una velocidad de [matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_0 \ mu_0}} [/ math].
Mencioné que las dos constantes podían determinarse experimentalmente, midiendo la relación de los campos eléctricos con la carga, y de los campos magnéticos con las corrientes. Entonces tenía figuras para ellos a la mano. Al conectarlos, obtuvo una velocidad muy cercana (dentro del error experimental) de la velocidad de la luz conocida en ese momento.
Fue su salto de intuición sugerir que (a) estas ondas electromagnéticas que su teoría predijo eran reales, y (b) que la luz eran ondas electromagnéticas. No se demostró que era correcto hasta después de su muerte (lamentablemente murió en 1879, a los 48 años, bastante joven por todo lo que hizo).
La “constancia” de la velocidad de la luz se puede deducir de las ecuaciones de Maxwell al observar que la velocidad está determinada por dos constantes, las cuales se pueden medir en reposo, para cualquier observador experimental. No depende del movimiento, y no se presta a seguir las leyes de transformación galileana para convertir la velocidad de un marco de referencia a otro.
