¿Cuál es la conexión entre el valor propio y la física cuántica?

Breve y simplificado, el estado de una partícula cuántica está representado por su función de onda de valor complejo que tiene diferentes valores en diferentes coordenadas en el tiempo y el espacio (t, x, y, z). La función de onda suele ser una solución de la ecuación de Schrödinger (SE) y su norma al cuadrado representa la probabilidad de dónde y cuándo la partícula puede interactuar con otra partícula (ver la regla de Born), que sumada o integrada da 1 significado de que la partícula debe estar en algún lugar de ese espacio (llamado normalización).

Aparte de eso, el SE es una ecuación en forma de onda que describe la evolución de la función de onda en términos de su forma previa y las condiciones ambientales que generalmente se dan como un conjunto de potenciales diferentes. Debido a su comportamiento ondulatorio, la función de onda cambia su forma en el tiempo e interfiere (debido a la linealidad de SE) consigo misma [matemáticas] – [/ matemáticas] en algún lugar y en algún momento interfiere destructivamente (se convierte en un valor pequeño, por lo tanto, baja probabilidad de encontrar el partícula allí / entonces), mientras que en otro lugar interfiere constructivamente (se hace más grande, mayor probabilidad). Si puede encontrar una solución estable de la SE para un potencial dado, significa que esta solución es “auto-equilibrada” e interfiere constructivamente consigo misma , generalmente manteniendo su forma (que puede traducirse o rotarse, es decir, multiplicarse por un valor complejo ) Estas soluciones estables se pueden encontrar para algunos valores discretos o continuos de parámetros de SE (momento, energía …) y representan los valores propios (de su formalismo matemático), mientras que las soluciones estables se denominan funciones propias.

Encontrar un valor propio significa que ha encontrado un punto de simetría (ya sea un valor particular de energía, momento …) para ese caso, por lo que la partícula cuántica (es decir, su función de onda) permanece en ese estado debido al mapeo constructivo constante de la corriente misma. de nuevo en el futuro (eventualmente traducido y / o rotado como se mencionó). Si el valor propio no es real, significa que la solución no es estable , por lo que no podemos confiar en su constancia. El físico generalmente dice que no es observable.

Creo que quería decir ‘este teorema es la razón por la cual funciona el marco matemático de la mecánica cuántica’. La física cuántica no funciona debido a ese teorema. Ningún cuerpo sabe cómo funciona. La mecánica cuántica aborda un comportamiento específico de la naturaleza en ciertas condiciones. Ese comportamiento depende de los sistemas de demandas configurados para poseer una base ortogonal y tener un operador que cambie entre esos estados base con valores reales que indican qué vector base.

Un ejemplo simple que carece de todas las complicaciones como PDE, más leyes de física es simplemente un conjunto de polarizadores y luz polarizada. La luz polarizada tiene dos dimensiones cuando se ve desde un plano ortogonal a la dirección de propagación. Estas dos dimensiones constituyen dos vectores básicos. La luz no polarizada entrante es una combinación lineal de estos dos vectores. El cristal polarizador actúa como un operador matemático y convierte a la luz en una luz polarizada lineal. Como resultado, esta luz ahora adquiere un estado base puro que es un estado propio del operador. Los valores propios correspondientes de los estados base es un indicador de cuál de los dos estados base adquirió la luz. Es una manera de decirnos qué base pura establece la luz adquirida, que tiene que ser real. Es por eso que ese teorema es útil para proporcionar un marco para modelar lo que sucede cuando la luz pasa a través de un polarizador.

Este es un ejemplo muy barato completamente despojado de su razonamiento físico y no un experimento real de física cuántica per se. Se supone que debe dar al matemático puro una breve idea de cómo los físicos utilizan ciertas herramientas matemáticas. Las otras respuestas, aunque buenas, pueden no ser útiles para usted, ya que usted, como matemático, no está familiarizado con la mecánica hamiltoniana, las anotaciones entre paréntesis, entre otras cosas.

En pocas palabras, todos los “medibles” en la Mecánica Cuántica pueden ser representados por Operadores (o Matrix si quieres pensarlo así).

Esto es como uno de los postulados básicos de QM.

Cuando se realiza una medición de ese valor medible (por ejemplo, la posición), proporciona un valor (como tomar una lectura de una escala de medidor) que corresponde al valor propio de ese Operador / Matriz.

Entonces, los valores propios tienen que ser reales.

Llegando a las funciones propias de estos “medibles”. Ahora esto es solo un poco complicado. Deben ser ortonormales para que abarquen el espacio. Solo una manera elegante de decir que cualquier estado dado de este medible puede representarse en términos de estas funciones propias para que den las evaluaciones correspondientes después de la medición (¡eso fue un bocado!).

Combinando los dos anteriores: vemos que estos “medibles” deben corresponder no solo a cualquier matriz sino a una matriz ” hermitiana “.

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¡Aún así, decir que esta es la razón por la cual QM funciona es estirarlo demasiado!

Los valores propios son valores “simplemente” observables de cantidad física que medimos. Pueden formar un conjunto continuo de números reales exactamente como en la física clásica, pero a menudo pueden hacerlo para un conjunto discreto de valores reales, y este es el lugar donde ocurre todo juego cuántico.