¿Por qué es relevante el teorema de Bell?

El teorema de Bell (o, más apropiadamente, la desigualdad de Bell [matemáticas] ^ {1} [/ matemáticas]) es una restricción que todas las teorías locales de variables ocultas de la mecánica cuántica deben obedecer.

Es significativo no por lo que es, sino por lo que implica su negación : una violación del teorema de Bell en el experimento es una prueba de que la mecánica cuántica no puede ser descrita por variables ocultas y, por lo tanto, por la mecánica clásica.

¿Esperar lo?

De acuerdo, tal vez es hora de retroceder un poco.

  • Desde Newton, los físicos han estado acostumbrados a ciertos conceptos de la mecánica clásica, el campo que estudia el movimiento de los objetos.

    Central a la mecánica clásica es la noción de que una propiedad medible (posición, momento, aceleración, etc.) de un objeto está bien definida antes de ser medida.

    En otras palabras, si levantara una pelota de playa y viera que su color era rojo, la mecánica clásica me haría creer que el color del objeto ya era rojo antes de verlo.

  • La mecánica cuántica, por otro lado, argumenta que una propiedad medible no está bien definida antes de medirla. En otras palabras, existe en una combinación de ciertos estados posibles [matemática] ^ {2} [/ matemática], y solo cuando la mide, la combinación se filtra a un solo estado final posible.

    Para continuar con la analogía de la pelota de playa, esto es como decir que la pelota de playa era en realidad roja, amarilla y azul y [matemática] \ ldots [/ matemática] antes de medirla [matemática] ^ {3} [/ matemática]. Cuando lo medí, sucedió algo que obligó a todos los demás colores a desaparecer y dejar solo el rojo.

    Actualmente se desconoce cómo funciona este misterioso algo . En el lenguaje de los físicos, llamamos a esto “filtrado” de posibles estados de decoherencia cuántica (o en términos menos exóticos: colapso de la función de onda ). Sabemos que existe, en principio no sabemos (y lo que es más importante) que no sabemos cómo sucede, aunque hay muchas interpretaciones de la mecánica cuántica que intentan asignarle un mecanismo.

Desafíos a la decoherencia

En los primeros días de la mecánica cuántica, la idea de la decoherencia cuántica estaba sujeta a una increíble cantidad de reacción. Schrodinger se burló con el gato de Schrödinger, donde argumentó que un gato vivo y muerto antes de ser medido es claramente absurdo, y debe haber algo más profundo.

No estaba solo: Einstein despreciaba la existencia de este comportamiento y trató de extender el argumento aún más con la paradoja de EPR. Einstein trató de argumentar que la decoherencia cuántica, combinada con el hecho de que en la mecánica cuántica a veces se permite que las propiedades de las partículas dependan de otras partículas [matemática] ^ {4} [/ matemática], ¡implica que estaba ocurriendo una comunicación más rápida que la luz! Después de todo, solo separe dos partículas que dependen una de la otra de esta manera hasta que estén separadas por años luz, mida una de las dos y, instantáneamente , a un año luz de distancia, las propiedades de la otra partícula se vuelven bien definidas. Esto lleva a la pregunta: ¿cómo sabía la otra partícula que la otra había sido observada, a menos que las dos partículas se comunicaran más rápido que la luz? Whoops [matemáticas] ^ {5} [/ matemáticas].

En pocas palabras, la reacción surgió porque parecía difícil reproducir el comportamiento clásico de la mecánica cuántica en tales casos extremos. La paradoja de EPR en particular llevó a las personas a afirmar que tal vez nuestra descripción de la mecánica cuántica estaba incompleta : que, en realidad, solo era la mecánica clásica pero con ciertas propiedades adicionales , desconocidas para nosotros, que deciden el estado final medido del objeto y evitan el nido de avispas de EPR y el gato de Schrodinger.

Estas propiedades adicionales se llamaron variables ocultas (variables que están ocultas para nosotros, obviamente), y los intentos de reproducir las predicciones teóricas de la mecánica cuántica utilizando la mecánica clásica y las variables ocultas se llamaron teorías de variables ocultas .

Tipos de teorías de variables ocultas

Estos fueron realmente populares en los años cuarenta y cincuenta, y lamento decir que Internet ya no parece recordar la mitad de ellos.

Aproximadamente, cayeron en dos campos:

  • Teorías locales de variables ocultas.

    Estas teorías afirman que toda la transferencia de información entre dos objetos cuánticos ocurre a menos de la velocidad de la luz. Si la paradoja de EPR se reprodujera en la vida real (afirmaron), entonces la distancia entre estas dos partículas enredadas es importante y la otra partícula no se descifrará en un solo estado hasta que llegue la información.

    Estas teorías también afirmaron que puedes reproducir la mecánica cuántica usando la mecánica clásica y una variable oculta llamada [math] \ lambda [/ math]. La idea es que el valor de la variable oculta determina lo que finalmente se mide: puede asignarle una distribución de probabilidad y argumentar que diferentes características de la mecánica cuántica son realmente funciones de esta distribución de probabilidad. Estos detalles de implementación: ¿qué tipo de funciones? – fueron todos los que separaron diferentes teorías entre sí.

  • Teorías de variables ocultas no locales .

    Estas teorías son exactamente como las teorías de variables ocultas locales (mecánica clásica con teorías de variables ocultas), excepto que permiten que la transferencia de información exceda la velocidad de la luz. La teoría de De Broglie-Bohm es probablemente la más famosa de estas.

    (Además, estas son algunas de las teorías más extravagantes que jamás hayas leído. Lo siento, pero me gusta que mi física esté libre de filosofía [matemáticas] ^ {6} [/ matemáticas]).

Teorema de Bell: lo que dice

El teorema de Bell demostró que los resultados de todas las teorías de variables locales ocultas que actúan sobre partículas enredadas tenían que obedecer a una desigualdad.

Específicamente, Bell afirmó que, si tenía un conjunto de partículas enredadas, cada una de las cuales tenía un cierto número de estados posibles, y realizaba un experimento con ellos, entonces una combinación lineal específica de la correlación entre cada estado en diferentes condiciones experimentales tiene ser menor que un valor específico.

¿Suena como un bocado? Sí, acabo de decir el caso general. Los casos específicos son mucho más fáciles de seguir, y proporciono uno de estos en el documento al que enlazo en la nota 1 a continuación. Afortunadamente, no necesita comprender el caso general; un simple ejemplo debería ser suficiente.

Digamos que tengo dos partículas enredadas, y decido hacer un experimento con estas partículas. Para cada partícula, tengo un dispositivo que mide una propiedad de estas partículas. Llamemos a estos detectores Dispositivo A y Dispositivo B. Puedo configurar un dial en mis dispositivos que controlan algo, por ejemplo, el campo eléctrico que produce un dispositivo.

Mi experimento, por ejemplo, requiere cuatro ejecuciones, en las que cambio las condiciones del experimento un poco cada vez. Tal vez la primera vez que puse los campos eléctricos en A y B iguales. Quizás la segunda vez que A sea mayor que B. Quizás la tercera vez que cambie A y B. Quizás la cuarta vez, elijo fuerzas de campo completamente diferentes. Cualesquiera que sean los resultados que obtengo, los introduzco en una función. ¿Qué función es esta? Es arbitrario : lo único que importa es que se normalice (es decir, su valor debe estar estrictamente entre 0 y 1).

La desigualdad de Bell (más exactamente, la desigualdad CHSH aquí) establece que, si sumo la función de las ejecuciones 1,2 y 3, pero resta la función de la ejecución 4, el resultado final siempre es menor que el número 2 para un oculto local Teoría de la variable. En otras palabras, si denotamos la función de la ejecución [math] i [/ math] como [math] F_ {i} [/ math], se puede decir que la desigualdad de Bell afirma que [math] F_ {1} + F_ { 2} + F_ {3} – F_ {4} <2 [/ math] siempre.

El significado del teorema de Bell

¿Esa descripción del teorema de Bell suena algo arbitraria y aleatoria? Quiero decir, ¿por qué elegimos restar [matemáticas] F_ {4} [/ matemáticas]? ¿Por qué no [matemáticas] F_ {3} [/ matemáticas]?

Ese es el punto . La importancia del teorema de Bell es que proporciona una restricción , no importa cuán extraña o forzada pueda parecer, que puede usarse para falsificar potencialmente teorías locales de variables ocultas. Puede usarlo para probar, por primera vez, si la mecánica cuántica puede explicarse o no utilizando la mecánica clásica .

Experimento y teorema de Bell

Es muy fácil demostrar la violación del teorema de Bell experimentalmente; de ​​hecho, lo hice en una clase de pregrado en la UCLA. Pero se han realizado pruebas mucho más sofisticadas y lo han confirmado: las teorías de variables ocultas locales no pueden describir la realidad, porque es posible realizar todos los pasos que he esbozado anteriormente y obtener un número mayor que dos.

A primera vista, es muy simple. Pero las consecuencias son enormes:

  • Al descartar las teorías de variables ocultas locales de manera concluyente, solo se dejan las teorías de variables ocultas no locales como posibles contendientes.

    Estos ya son tan extraños que nadie los consideraría seriamente sobre la mecánica cuántica propiamente dicha. En particular, el hecho de que no sean compatibles con la relatividad especial hace que cualquier intento de aumentarlos a la posición donde las teorías de campo cuántico ahora son impresionantemente difíciles.

  • Usted demuestra que la no localidad es una parte integral del universo que es independiente de nuestra descripción de la naturaleza y completamente independiente de si elegimos usar los axiomas tradicionales de la mecánica cuántica o algo más para describirlo. No tiene que ser la transferencia de información en sí misma el mecanismo, aunque Dios sabe qué más podría ser el mecanismo, pero la no localidad tiene que existir.
  • Finalmente, es solo un ejemplo clásico de muy buen pensamiento y científicos que anulan el trabajo del otro.

    John von Neumann, el famoso matemático, había publicado previamente una prueba de que las teorías de variables ocultas locales y la mecánica cuántica están garantizadas para dar el mismo resultado experimental en todos los casos.

    Esa prueba estaba equivocada, y John Bell la vio correctamente y la volcó. El teorema de Bell es tanto un triunfo del método científico como de la ciencia.


Notas al pie

[1] Hay muchas versiones equivalentes de la desigualdad de Bell, como la desigualdad CHSH. Si está interesado en una derivación de tales desigualdades en general o para una prueba experimental de violación (¡es muy fácil demostrarlo!), Vea AkshatM / Physics180Q (donde parafraseo la excelente derivación de Leo Zhou).

[2] Una ‘combinación’ aquí se refiere a una combinación lineal, familiar para cualquiera que haya echado un vistazo a la primera página de un libro de texto de álgebra lineal.

[3] Cuidado con tomarme demasiado literalmente: solo las propiedades medibles que poseen un operador hermitiano correspondiente están sujetas a tal magia cuántica, y el color no es una de esas propiedades. Sin embargo, la posición, el impulso y el giro son propiedades perfectamente válidas que admiten un operador hermitiano y, por lo tanto, exhiben este tipo de comportamiento.

[4] Hablando estrictamente, estoy saltando el arma aquí. En QM, se dice que las propiedades de las partículas están contenidas en la función de onda de la partícula. En esta oración, me estoy refiriendo realmente al entrelazamiento cuántico, que es lo que sucede cuando se combinan varias combinaciones de dos funciones de onda diferentes.

[5] La mecánica cuántica tampoco permite una comunicación más rápida que la luz, por lo que podemos tener cosas como las teorías de campo cuántico (explícitamente compatibles con la relatividad especial). A pesar de esto, la no localidad, la capacidad de afectar las cosas a distancia, todavía existe, aunque se supone que la transferencia de información siempre es menor que la velocidad de la luz. Es un misterio, uno que Einstein solía afirmar que QM era inconsistente consigo mismo o que la imagen clásica todavía tenía que sostenerse.

[6] Y mientras hablamos del tema, el único sabor de helado significativo es la vainilla, y todo el chocolate se debe consumir solo. Pero nunca me escuchaste, y esta conversación no sucedió.

Mi formulación favorita del teorema de Bell es la siguiente (la encontré en una de las excelentes conferencias de Leonard Susskind).

Imagine que un objeto (por ejemplo, una persona) puede tener tres propiedades: A, B y C. Pueden ser, por ejemplo, A = ‘alto’, B = ‘calvo’ y C = ‘masculino’.

Cualquier persona tiene alguna combinación de estas propiedades, por ejemplo, ‘no alto’ + ‘calvo’ + ‘masculino’, o ‘alto’ + ‘no calvo’ + ‘no masculino’, etc.

Un teorema equivalente a una de las formulaciones de la desigualdad de Bell es el siguiente:

N (A y no B) <= N (A y no C) + N (C y no B),

donde N (x, y) es el número de personas con la combinación de propiedades dada.

La prueba es tan simple que un niño puede entenderla. Las diferentes regiones de la figura anterior, que es una imagen estándar de la teoría de conjuntos, son personas que poseen o no poseen alguna combinación de las propiedades anteriores. Marqué todas las posibilidades diferentes con números del 1 al 7. Por ejemplo, 1 representa el número de personas que tienen la propiedad A, pero no B y no C (‘alto’ + ‘no calvo’ + ‘no masculino’).

Ahora:

N (A y no B) = 1 + 4

N (A y no C) + N (C y no B) = (1 + 5) + (3 + 4)

entonces, 1 + 4 <= 1 + 5 + 3 + 4

tenga en cuenta que tenemos 1 + 4 en ambos lados, por lo que se cancelan. Nos queda el hecho de que el número de personas con combinaciones de propiedades de 3 más el número de personas con combinaciones de propiedades de 5 es mayor o igual a cero. QED

Muy fácil y trivial, ¿verdad?

EQUIVOCADO

¡Lo más fantástico del mundo cuántico en el que vivimos es que no obedece este simple teorema!

¿Cómo puede ser esto? ¡Lo acabamos de demostrar! Bueno, parece que los objetos del mundo real no pueden describirse como poseedores o no de ciertas propiedades. La teoría de conjuntos que acabamos de usar no es la descripción correcta de nuestro mundo: en su lugar, se deben usar espacios vectoriales complejos con enredos cuánticos y todo eso.

Para mí es alucinante: ¡el mundo cuántico (nuestro mundo) no obedece a las matemáticas simples e intuitivas!

Voy a echar un vistazo a esto, pero otros pueden hacer un mejor trabajo. En Física, podemos describir un sistema como una colección de entidades, como átomos, electrones, fotones, en términos de una colección de valores. Los valores describen cosas como la masa, la velocidad, la velocidad de rotación, etc. En la mecánica cuántica, hay pares de valores que no se pueden medir simultáneamente con la precisión deseada. El ejemplo común es la velocidad y la ubicación (normalmente se indica como momento y ubicación, pero el momento es un poco más abstracto que la velocidad y es solo la velocidad multiplicada por la masa). Entonces, en cualquier instante, para una partícula dada hay incertidumbre sobre la velocidad, la ubicación o ambas.

Ahora, la mecánica cuántica básicamente dice que esta incertidumbre es irreducible, es decir, incluso si sabes todo lo que hay que saber sobre un sistema completo y aislado, todavía hay incertidumbre en las mediciones. Esto realmente frotó a Einstein de la manera incorrecta (“Dios no juega a los dados con el universo) y él, Boris Podolsky y Nathan Rosen publicaron un artículo en 1935 que proponía que, tal vez, había variables” ocultas “. Por lo tanto, no podía medir estas variables ocultas, pero estaban allí y si conocía sus valores, podría predecir completamente el estado del sistema. Es decir, el universo no es realmente inherentemente incierto.

Esto coció a fuego lento por un tiempo, hasta 1964 cuando John Bell publicó un artículo que demostró que realmente obtendría resultados diferentes entre la mecánica cuántica, donde hay incertidumbre incluso si sabe todo lo que hay que saber, y un enfoque de variable oculta donde no se puede En realidad, ver todos los valores en el sistema, pero completan determinar el estado del sistema. Se requirió un poco de molienda de la maquinaria de Física, pero a la gente se le ocurrieron formas prácticas de hacer las mediciones necesarias para distinguirlos. Los resultados iniciales fueron algo ambiguos, pero entiendo que se ha descartado el enfoque de la variable oculta.

Hay muchas formas de interpretar la mecánica cuántica, a pesar de que todas dan el mismo resultado, por lo que es un poco difícil decir qué significa todo esto. En una interpretación de universo único, significa que algunas cosas simplemente no se pueden conocer. En una interpretación de Muchos Mundos, todos los valores existen simultáneamente, solo en universos diferentes y que no interactúan.

Para mí, esto y la relatividad general son las dos áreas de la física que extraño desde que emprendí mi carrera hacia la ingeniería informática. Las implicaciones de ambos son enormemente no intuitivas y existencialmente alucinantes. De una manera segura y libre de drogas, por supuesto.

La importancia del teorema de Bell es que dejó en claro que las teorías locales de variables ocultas son inconsistentes con las predicciones de la mecánica cuántica. Y, debido a que los experimentos han demostrado convincentemente que la mecánica cuántica es correcta, esto implica que ninguna teoría de variables ocultas locales puede ser correcta.

El significado histórico de esto es que el “criterio de realidad” del documento EPR no está satisfecho con la realidad física. En resumen, Einstein se equivocó. Sin embargo, merece crédito (junto con Bell) por ayudar a hacer explícita esta característica de la mecánica cuántica.

Para obtener más detalles, consulte la respuesta de Tom McFarlane a Quantum Mechanics: ¿Cuál es una explicación del Teorema de Bell en lenguaje sencillo?

Gracias por hacerme esta pregunta, aunque no soy un teórico ni el teorema de Bell es mi área.

Todavía trataría de ofrecer una respuesta de mi humilde conocimiento en esta área.

Einstein, Podolsky y Rosen, tres teóricos, disgustados con los resultados misteriosos pero irrefutables de la mecánica cuántica, como el entrelazamiento y las correlaciones entre dos sistemas cuánticos, como un par de fotones gemelos generados y siguiendo caminos similares, etc., enunciaron una teoría que cuántica La mecánica es una teoría de variables ocultas en la que existen ciertas variables que desconocemos pero que están presentes en el sistema que permiten que dos objetos retengan estados comunes o similares (como si los hermanos gemelos viajasen por separado pero conocieran su itinerario por medio de un enlace secreto de comunicación, la variable oculta).

Bell, otro teórico brillante contemporáneo, elaboró ​​un teorema conocido como Desigualdades de Bell o Teorema de Bell, demostrando matemáticamente que ninguna teoría de variables ocultas puede predecir los mismos resultados que la mecánica cuántica. El teorema es correcto y, por lo tanto, demuestra que la mecánica cuántica no funciona con algunas variables ocultas subyacentes, pero de hecho es una característica de la naturaleza, incrustada en sistemas microscópicos.

Este teorema tiene un significado central en la física cuántica, ya que demuestra sus principios fundamentales.

Para más detalles, consulte amablemente un texto sobre esta área.

Espero que ayude.

Dejaré que otros que tengan un conocimiento más detallado proporcionen ese conocimiento como quieran. Para mí, simplemente:

El teorema lleva a la conclusión de que la física cuántica no puede ser representada por ninguna representación física clásica. Además, la naturaleza ha demostrado resultados que el Teorema de Bell demuestra que no pueden explicarse sin alguna forma de interacción de sistemas no local. Esto abre la puerta a muchas ideas que suenan SF sobre cómo funciona realmente el universo / multiverso en el que algunas personas optan por proponer teorías descabelladas, mientras que otras optan por no participar, mientras que otras participan en riesgo para su propia posición científica profesional.

Para mí, es uno de los elementos clave de QM (así como de filosofía) ya que une la teoría de QM y los resultados experimentales. El teorema de Bell es bueno porque se basa en una suposición muy general que proporciona muy poco margen de maniobra para escapar de la conclusión de que hay mucho que aprender sobre la realidad y / o que aún no se ha compartido públicamente.

El teorema de Bell se usa como argumento a favor o en contra de algunas interpretaciones de la mecánica cuántica, pero no tiene mucha relevancia en física además de algunas pruebas experimentales que son posibles para descartar algunas interpretaciones de la mecánica cuántica o hacerlas muy restrictivas.

Las interpretaciones de la mecánica cuántica no conducen a resultados diferentes en los cálculos (hay algunas excepciones muy exóticas relacionadas con el destino de nuestro universo). La mayoría de los fisicistas eligen una interpretación y continúan su trabajo en asuntos reales. El teorema en sí no se suma a la comprensión de los procesos (sub) atómicos ni al universo. En el día a día de la caja de herramientas de un físico, el teorema de Bell es un buen truco para demostrar la mecánica cuántica, pero no es una herramienta para descifrar los números o cambiar la forma en que se realizan los experimentos.

¿Relevante para quién? Para mí, su relevancia es que, dado que ninguna variable oculta local puede explicar la QM, en lugar de rendirse y decir que la realidad es un misterio inexplicable, lo cual me parece inquietante, siento que necesito buscar en otro lado para explicarlo. Lo que me parece relevante es que QM se basa en la probabilidad, por lo que creo que la realidad es probablemente una entidad matemática no local. Pero las matemáticas se basan en la lógica, por lo que la realidad también es probablemente una entidad lógica. Pero la lógica se basa en la posibilidad, por lo que la realidad es probablemente una función de la posibilidad. Dado que la posibilidad es la base de la probabilidad y la probabilidad es la base de la QM y dado que es imposible ir más allá de la posibilidad, siento que he llegado a la base de la realidad, de la QM y de mí mismo. Me siento mejor ahora. Eso es relevante para mí.

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