¡Buena pregunta! Y, algo incompleto, ya que no especifica qué tipo de órbitas debemos considerar, órbitas causadas por qué tipo de fuerza / interacción. Por lo tanto, no puedo dar una respuesta directa, pero tendré que serpentear un poco:
Divertidamente, tanto las fuerzas gravitacionales (a la Newton) como las electrostáticas (a la Coulomb) se rigen (en el espacio tridimensional) por el potencial de “distancia inversa” ([matemática] \ sim1 / r [/ matemática]). Y, las órbitas gobernadas por estos dos tipos de interacciones son de hecho estables con respecto a las pequeñas perturbaciones radiales.
Amusinger (*) aún así, la fuerza idealmente elástica de resorte / banda de goma también gobernaría las órbitas estables, como lo demostró J. Bertrand en 1873. De hecho, Bertrand demostró también que la [matemática] \ sim1 / r [/ matemática] y los potenciales [matemáticos] \ sim r ^ 2 [/ matemáticos] son los únicos en el espacio tridimensional que garantizan órbitas estables (¡y planas!).
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Entonces, y especialmente porque las órbitas ya son planas, ¿qué podría salir mal en el espacio-tiempo bidimensional? Después de todo, en ambos tipos de órbitas circulares estables (regidas por [math] \ sim1 / r [/ math] o [math] \ sim r ^ 2 [/ math] tipo de potenciales centrales), no hay movimiento en la 3ra (de 4ta o 5ta …) dimensión de todos modos.
Bueno, lo que podría “salir mal” y es por eso que las órbitas en el espacio bidimensional pueden no ser estables, y esto es lo que no se especifica en la pregunta, es que en el espacio bidimensional (o 4 o 5 dimensional) , los potenciales gravitacionales y electrostáticos no tendrían la dependencia característica [matemática] \ sim1 / r [/ matemática]. En [math] d [/ math] -dimensional spacetime, estos potenciales tendrían una [math] \ sim1 / r ^ {d-2} [/ math] -dependence cuando [math] d \ neq2 [/ math], y a [math] \ sim \ ln (r) [/ math] -como dependencia cuando [math] d = 2 [/ math]. Para probar esto, siga la prueba de la ley de Coulomb de la ley de Gauss en [math] d [/ math] -dimensional space, observando que la superficie gaussiana que encierra la fuente de la fuerza es [math] (d {-} 1 ) [/ matemáticas] -esfera tridimensional, y que cada fuerza central es el gradiente negativo de su potencial.
Espero que esta respuesta inmediata, “fuera de lugar” ayude; Una respuesta más completa requeriría seguir a través de la prueba del teorema de Bertram, junto con un cálculo de la forma funcional del potencial central particular que gobierna las órbitas.
(*) Asiente y guiña un ojo a CL Dodgson (también conocido como Lewis Carroll)
