¿Cuál es la diferencia entre curvatura positiva y negativa?

Como se señala en la respuesta a continuación, las esferas son ejemplos de objetos curvados positivamente, mientras que las sillas de montar (la parte interior de una rosquilla, por ejemplo) son ejemplos de objetos curvados negativamente. Una forma muy agradable de entender la curvatura de las variedades es observar geodésicas en ellas. Para simplificar, consideremos las superficies que se encuentran en el espacio euclidiano, como esferas y rosquillas con múltiples agujeros. Una geodésica es solo una palabra elegante para una curva más corta entre dos puntos (para ser precisos, una geodésica solo minimiza la longitud localmente, pero olvidemos eso por un momento). La restricción es, por supuesto, que la curva se encuentra completamente en la superficie. Entonces, por ejemplo, las geodésicas en una esfera están contenidas en los ecuadores. Entonces es un hecho que la positividad de la curvatura es equivalente al hecho de que dos geodésicas que parten del mismo punto tienden a doblarse una hacia la otra mientras que sucede lo contrario para la curvatura negativa. Hay muchas formas equivalentes de escribir esto rigurosamente, cada una de las cuales se puede tomar como una definición de curvatura (la llamada curvatura de Gauss de una superficie). El siguiente es el que más me gusta, ya que se relaciona con el primer teorema de geometría que estudié tantos años atrás, es decir, que la suma del ángulo de un triángulo en un plano es de 180 grados. Un triángulo es un polígono con tres lados en línea recta. Entonces, en una superficie curva, un triángulo se puede definir como un polígono con tres lados geodésicos. Entonces, intuitivamente, la curvatura positiva significaría triángulos más gruesos. Veamos un ejemplo. En una esfera, un triángulo formado por la intersección del ecuador con dos longitudes. El ángulo se puede definir como el ángulo que el vector tangente forma entre sí. Luego, las longitudes forman un ángulo recto con el ecuador. Entonces, si elegimos longitudes que están en ángulo recto, obtenemos un triángulo cuyos lados son 90 y, por lo tanto, la suma de los ángulos es 270 o [matemática] 3 \ pi / 2 [/ matemática] que es mayor que en Euclídea caso. De hecho, ¡cualquier triángulo que dibujes tendrá una suma de ángulos mayor que [math] \ pi [/ math]! La curvatura se define esencialmente como la relación de esta diferencia por el área del triángulo, a medida que el triángulo se contrae. Para nuestro ejemplo anterior, el triángulo es un octante de la esfera. Entonces, si suponemos que la esfera tiene radio R, entonces el área de superficie será [matemática] \ piR ^ 2/2 [/ matemática]. Entonces la relación es [matemática] 1 / R ^ 2 [/ matemática]. Como la esfera es altamente homogénea, la relación sería la misma sin importar cuán pequeño sea el triángulo que elijamos. ¡Entonces la curvatura de una esfera en cualquier punto es [matemática] 1 / R ^ 2 [/ matemática]! Esto también está de acuerdo con nuestra intuición. Una bola enorme, localmente, es casi plana y, por lo tanto, debe tener una curvatura pequeña, mientras que una bola pequeña está claramente curvada.