Hagamos esto generalmente: dos esferas de masa [matemática] M [/ matemática] y radio [matemática] R [/ matemática], comenzando en reposo con sus centros a una distancia [matemática] r_0 [/ matemática] aparte.
Como otros han mencionado, la aceleración de cada esfera está dada por [math] GM / r ^ 2 [/ math]. Si una de las esferas estuviera fija en su lugar, esa sería la segunda derivada de la distancia entre las esferas; sin embargo, dado que ambas esferas se mueven, en realidad obtenemos el doble de eso:
[matemáticas] \ ddot r = -2 \ frac {GM} {r ^ 2} [/ matemáticas],
- ¿Cómo causa la gravedad la aceleración?
- Cuando una sonda espacial escapa de la Tierra, ¿la gravedad percibida en ella se vuelve infinita?
- ¿Por qué las burbujas no se deforman en presencia de la gravedad como lo hace el fuego (el fuego forma una esfera en el espacio)?
- ¿Se opuso Einstein a la ley de gravitación universal de Newton de alguna manera? Mi maestro me lo dijo hoy, pero no dio más detalles.
- ¿Cuál de las leyes de Kepler seguiría siendo cierta si la fuerza de la gravedad fuera proporcional a 1 / r ^ 3 en lugar de 1 / r ^ 2?
con velocidad inicial [matemática] \ dot r_0 = 0 [/ matemática] (comenzando en reposo) y separación inicial [matemática] r_0 [/ matemática].
Esta ecuación diferencial, combinada con estas condiciones iniciales, son suficientes para garantizar una solución única, que puede encontrarse numéricamente (por una computadora) o quizás simbólicamente (aunque personalmente no sé cómo). Sin embargo, podemos ir por una ruta diferente, ya que tenemos más información: ¡las interacciones gravitacionales conservan la energía! Es decir,
[matemáticas] E = 2 \ cdot \ tfrac {1} {2} M (\ dot r / 2) ^ 2 – \ frac {GM ^ 2} {r} [/ matemáticas]
No cambia con el tiempo . Conectando las condiciones iniciales conocidas, esto significa [matemáticas] E = -GM ^ 2 / r_0 [/ matemáticas] todo el tiempo . Conectando esto de nuevo arriba y resolviendo para [math] \ dot r [/ math], obtenemos
[matemática] \ dot r = -2 \ sqrt {GM \ left (\ frac {1} {r} – \ frac {1} {r_0} \ right)} [/ math].
En un horrible abuso de notación que hará que los matemáticos fantaseen con pasarme los lápices por los ojos, pero que, sin embargo, funciona en situaciones como esta (¡gracias, Leibniz!),
[matemáticas] \ begin {align *} \ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t} & = -2 \ sqrt {GM \ left (1 / r – 1 / r_0 \ right)} \ \ \ mathrm {d} t & = \ frac {\ mathrm {d} r} {- 2 \ sqrt {GM \ left (1 / r – 1 / r_0 \ right)}} \\ \ int_ {t_0} ^ { t_f} \ mathrm {d} t & = \ frac {-1} {2 \ sqrt {GM}} \ int_ {r_0} ^ {2R} \ frac {\ mathrm {d} r} {\ sqrt {1 / r – 1 / r_0}}. \ end {align *} [/ math]
El lado izquierdo es solo el intervalo de tiempo deseado, [matemática] \ Delta t [/ matemática]. El lado derecho es una integral bastante fea, pero Mathematica no tiene problemas con eso, y felizmente informa que (después de alguna simplificación),
[matemáticas] \ begin {align *} \ Delta t & = \ sqrt {\ frac {r_0 ^ 3} {4GM}} \ left [\ cos ^ {- 1} \ left (\ sqrt {x} \ right) + \ sqrt {x (1-x)} \, \ right], \\ \ text {with} \ quad x & \ equiv 2R / r_0. \ end {align *} [/ math]
Tenga en cuenta que, en el caso de este problema, [math] x [/ math] está muy cerca de cero. Una expansión de Taylor de primer orden de la expresión entre paréntesis da
[matemáticas] {\ Large [\ dots]} = \ frac {\ pi} {2} – \ frac {2} {3} x ^ {3/2} + \ mathcal {O} \ left (x ^ {5 / 2} \ right) [/ math]
(los términos [matemática] \ sqrt {x} [/ matemática] cancelan obligatoriamente). Esto significa que, para pequeñas [matemáticas] x [/ matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle \ Delta t \ approx \ frac {\ pi} {4} \ sqrt {\ frac {r_0 ^ 3} {GM}} [/ math]
Es una muy buena aproximación. De hecho, en este caso, parece que el error es del orden de 10 partes por mil millones, lo que significa que nuestra incertidumbre experimental en la constante gravitacional y la densidad del plomo serían fuentes de error mucho más significativas que esta aproximación.
Enchufar [math] r_0 = 10 ^ 5 [/ math] my [math] M = \ tfrac {4} {3} \ pi (0.5 \ text {m}) ^ 3 (1.13 \ times 10 ^ 4 \ text {kg / m} ^ 3) = 5.94 \ times 10 ^ 3 \ text {kg} [/ math], obtenemos
[matemáticas] \ Delta t = 3.95 \ veces 10 ^ {10} \ text {s} \ aproximadamente 1250 [/ matemáticas] años,
a 3 cifras significativas. (Si desea una mayor precisión, puede sentirse libre de enchufar entradas más precisas usted mismo).
En la mayoría de los casos, querrás resolverlo numéricamente, como lo han hecho otros … ¡pero creo que es genial ver cómo funciona esto analíticamente!
