¿Cuál de las leyes de Kepler seguiría siendo cierta si la fuerza de la gravedad fuera proporcional a 1 / r ^ 3 en lugar de 1 / r ^ 2?

Es la segunda ley de Kepler :

El vector de radio desde la Estrella al planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.

No depende de la “fuerza cuadrada inversa de la gravedad” , sino que es una consecuencia de la conservación del momento angular .

En una cantidad infinitesimal de tiempo dt , la cantidad infinitesimal de área dA barrida por el radio vector es el área de un triángulo cuya longitud base es r y cuya altura perpendicular es

rdθ = rθ’dt ……… .. Eqn (1)

Entonces el área (la mitad de la base * La altura perpendicular) es

dA = 1/2 r ^ 2 θ’dt. ………… .Eqn (2)

Av = dA / dt = 1/2 r ^ 2 θ ‘……………… Ecuación (3)

La velocidad a la que se barre el área, se llama “Velocidad de área” , y que la representaremos por Av , es

Av = dA / dt = 1/2 r ^ 2 θ ‘…………… Eqn (4)

Av = 1/2 r ^ 2 θ ‘………………… Eqn (5)

Ecuación diferenciadora (5) wrt el tiempo nos dará

(Av) ‘= 1/2 ( r ^ 2 θ ‘ ‘+ 2 r r’ θ ‘) ………… ..Eqn (6)

(Av) ‘ = r / 2 ( ‘ ‘+2 r’θ ‘) ………… ..Eqn (7)

( Ya que rθ ” + 2 r’θ ‘= 0 de componentes tangenciales de velocidad y aceleración en coordenadas polares)

(Av) ‘= 0

Av = constante

Por lo tanto, la velocidad de un planeta es constante.

La constancia de Av (segunda ley de Kepler) presiona la conservación del momento angular . Lo cual no depende de la fuerza cuadrada inversa de la gravedad. Tampoco depende del concepto de que la fuerza sea independiente del ángulo θ, o la fuerza es atractiva en lugar de repulsiva. Depende solo del concepto de que la fuerza no tiene componente en la dirección de θ. Pero las leyes primera y tercera de Kepler ciertamente dependen de la fuerza cuadrada inversa de la gravedad.

Gracias 🙂