¿Qué sucede con Pi si acelero un cilindro rígido cerca de la velocidad de la luz?

No sucede nada con [math] \ pi [/ math] si acelera un objeto físico. El valor [math] \ pi [/ math] es una abstracción matemática con muchas definiciones equivalentes, una de las cuales es que expresa la razón de la circunferencia y el diámetro de un círculo en el espacio euclidiano. Pero no en un marco de referencia de espacio-tiempo giratorio utilizado por los físicos.

Lo que sucede en el espacio-tiempo en un marco de referencia giratorio es que la relación circunferencia-diámetro de un círculo ya no es [matemática] \ pi [/ matemática] sino algún otro número que incorpore la velocidad angular y el radio (específicamente, lo hará be [math] \ pi / \ sqrt {1- \ omega ^ 2r ^ 2 / c ^ 2} [/ math], donde [math] \ omega [/ math] es la velocidad angular, [math] r [/ math ] es el radio y [matemáticas] c [/ matemáticas] es la velocidad de la luz).

La paradoja de Ehrenfest no se trata de este valor per se, sino de la importante observación de que en la teoría de la relatividad no existen cuerpos rígidos; específicamente, no hay tal cosa como un cilindro rígido o disco.

Considere un universo cerrado de curvatura positiva uniforme. Sea [matemática] 2 \ pi R [/ matemática] la circunferencia del universo, donde [matemática] R [/ matemática] es el radio de curvatura. La relación de la circunferencia de cualquier círculo a su diámetro es aproximadamente [matemática] \ pi [/ matemática] para valores pequeños. Pero la proporción aumenta a un máximo en [matemáticas] \ frac {1} {4} [/ matemáticas] (cuando el radio es la circunferencia del universo), y luego disminuye a cero a medida que el radio del círculo se aproxima a la mitad de la circunferencia del universo.

Un cilindro giratorio está acelerando y, por lo tanto, la relatividad especial es inadecuada para describir lo que sucede. Pero lo más importante, incluso considerando solo la energía del cilindro, de acuerdo con la relatividad general, el espacio se curva positivamente en la vecindad del cilindro giratorio, lo que de hecho cambia la relación de la circunferencia del cilindro a su diámetro.

Esto es lo que creo que sucede, pero consideraré un disco giratorio, específicamente un tiovivo, no un cilindro:

Primero, creo que se desarrollarán grietas en la parte externa del disco debido a la contracción de Lorentz, dejando muchos espacios a lo largo del perímetro. (Esto es similar al experimento del hilo roto de John Bell, que analizo en mi libro). Ahora suponga que una persona en el carrusel intenta medir el perímetro con un criterio, teniendo cuidado de pasar por encima de las grietas. Debido a la contracción de Lorentz, descubrirá que se necesitan más palos que cuando el carrusel estaba en reposo. Por lo tanto, concluirá que la circunferencia es mayor que el diámetro habitual x Pi, como dijo Einstein:

Esto se entiende fácilmente si prevemos todo el proceso de medición desde el “sistema estacionario”, y tenemos en cuenta que la barra de medición aplicada a la periferia sufre una contracción de Lorentz, mientras que la que se aplica a lo largo del radio no. Por lo tanto, la geometría euclidiana no se aplica. – A. Einstein, “El fundamento de la teoría general de la relatividad”, 11916)

Sin embargo, alguien que observe en el suelo verá la contracción y comprenderá la razón del resultado. Y aunque la persona en el tiovivo no puede ver la contracción, si nota la fuerza centrífuga externa (y si es física), puede inferir que el tiovivo está en movimiento y que el medidor se pega ha contraído

Así que creo que tienes tu elección. O la circunferencia es mayor que dx Pi, o el palo se ha contraído y c = dx Pi. Pero recuerde, Pi se define matemáticamente como la suma de una serie determinada, por lo que no puede cambiar.

Si está hablando de mover el cilindro a lo largo de su eje de rotación, no vería un cambio en la circunferencia. Pero si lo moviera a lo largo de una línea de diámetro, el cilindro ya no tendría una sección transversal circular, sino una elíptica. Esto invalidaría su declaración sobre pi, ya que no habría un “radio” definido.