¡Estos combinan bastante bien! Entonces, con esta suposición de que el Universo es isotrópico y homogéneo, hay dos formas de proceder. Puede, como una opción, elegir la relatividad general como su teoría de la gravedad, escribir el espacio-tiempo que describe un universo isotrópico y homogéneo (la métrica de Robertson-Walker) y resolver las ecuaciones que rigen la evolución del tamaño y la escala de El universo en función del tiempo, conocido como las ecuaciones de Friedmann. El resultado final que obtienes de eso es esta relación entre la tasa de expansión de Hubble, H , y la densidad de energía del Universo, ρ :
Lo que iguala la tasa de expansión de Hubble, å / a , es solo la velocidad a la que un punto arbitrario del Universo se aleja de nosotros ( å ) dividido por la distancia a ese punto ( a ).
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Ahora, la curvatura de nuestro Universo, k , resulta ser cero, y la constante cosmológica, Λ , es solo otro tipo de densidad de energía. Entonces, si nos gusta, podemos reescribir esta ecuación en una forma más simple:
Esa es la forma rigurosa de hacerlo, y es un ejercicio que todos los estudiantes de posgrado en cosmología deben hacer. Pero hay una manera más fácil de hacerlo. Una manera mucho más fácil, por la que voy a guiarte. ¿Recuerdas tomar física en la escuela secundaria y aprender sobre dos tipos de energía: energía cinética y energía potencial? En nuestro ejemplo aquí, estamos considerando un punto arbitrario en un espacio isotrópico homogéneo. Tiene ambos tipos de energía: después de todo, se está moviendo, por lo que tiene energía cinética, y la gravedad está tratando de unir todo, por lo que tiene energía potencial gravitacional. La energía cinética es positiva:
Si bien la energía potencial gravitacional es negativa:
Ahora, en un universo plano como el nuestro, uno con curvatura espacial cero, tenemos esta propiedad muy interesante de que la energía total de este universo también es cero . Esto significa que si sumamos energía cinética y energía potencial gravitacional, obtenemos cero, así:
0 = KE + PE,
0 = ½ mv
2
– G m M / r.
O podría hacer un poco de álgebra para cancelar la pequeña m y hacer que todo sea positivo, en cuyo caso obtengo:
GM / r = ½ v2.
Eso se ve bien, pero no es exactamente lo que quiero. Realmente no sé qué es esta gran masa, M , ¿verdad? Bueno, sé que la masa es igual a la densidad por el volumen. Y, si recuerdo la ley de Gauss para la gravedad, recordaré que el volumen que me interesa es el volumen de una esfera. Entonces necesito reemplazar esa masa, M , en mi ecuación con esto:
M = ρ V
donde el volumen, V , es:
V = 4/3 π r3,
y mi ecuación que obtuve de energía cinética y potencial se convierte en esto:
G (ρ 4/3 π r3) / r = ½ v2.
Ahora, esto se ve muy bien! Voy a cancelar una de las r s del numerador y el denominador, y voy a multiplicar ambos lados de la ecuación por 2. Entonces nuestra ecuación se ve así ahora:
8/3 π r2 G ρ = v2.
Hmm ¡Parece que nos estamos acercando mucho! Dividamos ambos lados por r2 , y veamos qué obtenemos:
8/3 π G ρ = v2 / r2.
¡Agradable! Lo único es que, en lugar de tener H2 , tenemos v2 / r2 . Pero espera. ¿Recuerdas lo que dije sobre la tasa de expansión del Hubble?
Lo que iguala la tasa de expansión de Hubble, å / a , es solo la velocidad a la que un punto arbitrario del Universo se aleja de nosotros ( å ) dividido por la distancia a ese punto ( a ).
Bueno, eso es lo que tenemos , ¡una velocidad dividida por una distancia! Entonces, todo lo que tenemos que hacer es sustituir en H por v / r , y ver lo que tenemos:
H2 = 8/3 π G ρ,
La ecuación que gobierna la expansión del Universo. Y todo lo que necesitaba era un poco de física, geometría y álgebra en la escuela secundaria. ¡Y ahora también sabes cómo hacerlo!
Referencias: La matemática del universo en expansión
