En mecánica cuántica, las tres imágenes también se denominan imágenes dinámicas. Estas son esencialmente la imagen de Heisenberg, la imagen de Schrödinger y la imagen de interacción (o imagen de Dirac).
Wikipedia tiene algunas explicaciones útiles sobre estas imágenes:
En mecánica cuántica, las imágenes dinámicas (o representaciones ) son las múltiples formas equivalentes de formular matemáticamente la dinámica de un sistema cuántico.
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Las dos más importantes son la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger . Estos difieren solo por un cambio de base con respecto a la dependencia del tiempo, análoga a la especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo: en resumen, la dependencia del tiempo está asociada a los estados cuánticos en la imagen de Schrödinger y a los operadores en la imagen de Heisenberg.
También hay una formulación intermedia conocida como la imagen de interacción (o imagen de Dirac ) que es útil para hacer cálculos cuando un hamiltoniano complicado tiene una descomposición natural en un hamiltoniano simple “libre” y una perturbación.
Con respecto a cada imagen:
En la imagen de Schrödinger, el estado de un sistema evoluciona con el tiempo. La evolución de un sistema cuántico cerrado es provocada por un operador unitario, el operador de evolución temporal. Para la evolución temporal de un vector de estado [math] {\ displaystyle | \ psi (t_ {0}) \ rangle} [/ math] en el momento [math] t_0 [/ math]
a un vector de estado [math] {\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle} [/ math] en el tiempo t, el operador de evolución temporal se escribe comúnmente [math] {\ displaystyle U (t, t_ {0}) } [/ math], y uno tiene
[matemática] {\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.} [/ math]
En el caso donde el Hamiltoniano del sistema no varía con el tiempo, el operador de evolución del tiempo tiene la forma
[matemáticas] {\ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {- iH (t-t_ {0}) / \ hbar},} [/ matemáticas]
donde el exponente se evalúa a través de su serie Taylor.
En física, la imagen de Heisenberg (también llamada representación de Heisenberg ) es una formulación (en gran parte debido a Werner Heisenberg en 1925) de la mecánica cuántica en la que los operadores (observables y otros) incorporan una dependencia del tiempo, pero los vectores de estado son tiempo- independiente, una base arbitraria fija que subyace rígidamente a la teoría.
Contrasta con la imagen de Schrödinger en la que los operadores son constantes y los estados evolucionan en el tiempo. Las dos imágenes solo difieren en un cambio de base con respecto a la dependencia del tiempo, que corresponde a la diferencia entre las transformaciones activas y pasivas. La imagen de Heisenberg es la formulación de la mecánica matricial de forma arbitraria, en la que el hamiltoniano no es necesariamente diagonal.
En mecánica cuántica, la imagen de interacción (también conocida como imagen de Dirac ) es una representación intermedia entre la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg. Mientras que en las otras dos imágenes, el vector de estado o los operadores tienen dependencia del tiempo, en la imagen de interacción ambos tienen parte de la dependencia del tiempo de los observables. La imagen de interacción es útil para tratar los cambios en las funciones de onda y es observable debido a las interacciones. La mayoría de los cálculos teóricos de campo utilizan la representación de interacción porque construyen la solución a la ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos como la solución al problema de partículas libres más algunas partes de interacción desconocidas.
Las ecuaciones que incluyen operadores que actúan en diferentes momentos, que se mantienen en la imagen de interacción, no necesariamente se mantienen en la imagen de Schrödinger o Heisenberg. Esto se debe a que las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan a los operadores en una imagen con los operadores análogos en las otras.
Sobre las diferencias entre las imágenes:
En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, el vector de estado, [matemáticas] {\ displaystyle | \ psi \ rangle} [/ matemáticas], no cambia con el tiempo, y una A observable satisface
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [H, A (t)] + {\ frac {\ parcial A (t )} {\ partial t}},} [/ math]
donde H es el hamiltoniano y [•, •] denota el conmutador de dos operadores (en este caso, H y A ). Tomar los valores esperados produce el teorema de Ehrenfest presentado en el principio de correspondencia. […]
Comparación de imágenes
La imagen de Heisenberg es la más cercana a la mecánica clásica hamiltoniana (por ejemplo, los conmutadores que aparecen en las ecuaciones anteriores corresponden directamente a los corchetes de Poisson clásicos). La imagen de Schrödinger, la formulación preferida en textos introductorios, es fácil de visualizar en términos de rotaciones espaciales de Hilbert de vectores de estado, aunque carece de generalización natural a los sistemas invariantes de Lorentz. La imagen de Dirac es más útil en la teoría de perturbaciones no estacionarias y covariantes, por lo que es adecuada para la teoría de campos cuánticos y la física de muchos cuerpos.
