Soy ingeniero de software de profesión y si quisiera describir la relación con los compañeros de trabajo, podría decir que el “espacio vectorial complejo” era una interfaz simple pero abstracta de la cual la “función de valor complejo” era una de las implementaciones más comunes. (y las funciones de onda son un tipo especial de función de valor complejo).
Para decirlo de otra manera, las funciones de onda pertenecen a un espacio vectorial complejo; El espacio de todas las funciones posibles de valores complejos en el mismo dominio es un espacio vectorial complejo. Lo que esto significa es que satisfacen una serie de leyes algebraicas. Hay un operador [math] + [/ math] definido en las funciones de onda por [math] (f + g) (s) = f (s) + g (s) [/ math] donde [math] s [/ math ] es algo así como una configuración de partículas. Hay un operador de multiplicación escalar (representado por un espacio vacío en la fórmula) definido como [matemáticas] (cf) (s) = c (f (s)) [/ matemáticas] donde [matemáticas] c [/ matemáticas] es un complejo número. La adición tiene un elemento “cero” [matemática] 0 [/ matemática] que es la función igual a cero en todas partes, y [matemática] f + 0 = f [/ matemática] para cualquier [matemática] f [/ matemática]. La suma es conmutativa, [matemática] f + g = g + f [/ matemática], asociativa, [matemática] (f + g) + h = f + (g + h) [/ matemática], y tiene inversas aditivas [matemática] -f [/ matemática] satisfactoria [matemática] (- f) + f = 0 [/ matemática]. La multiplicación escalar es asociativa, [matemática] c (df) = (cd) f [/ matemática] para funciones [matemática] f [/ matemática] y números complejos [matemática] c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática ] La multiplicación escalar también es distributiva en ambos lados, [math] (c + d) f = cf + df [/ math] y [math] c (f + g) = cf + cg [/ math]. La multiplicación escalar por 1 es la identidad, [matemáticas] 1f = f [/ matemáticas]. Esas reglas lo convierten en un espacio vectorial. Son muy básicos; lo único que es sofisticado es unirlos y usarlos como la definición de un tipo de estructura algebraica.
Hay propiedades adicionales que tiene, como tener un producto interno [math] [/ math] que es la integral de [math] f (s) \ bar {g (s)} [/ math] sobre el espacio de posibles [matemáticas] s [/ matemáticas]. El producto interno de [math] f [/ math] consigo mismo, [math] [/ math], no siempre se define porque la integral podría divergir, pero restringimos al subconjunto de esos [math] f [/ math] para el que está definido. Este subconjunto también es un espacio vectorial, aunque requiere un poco más de trabajo para confirmarlo. Cuando se define [math] [/ math], siempre es un número real [math] \ ge 0 [/ math]. Uno define una longitud [math] | f | = \ sqrt {} [/ math].
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Técnicamente, dado que es posible tener una función [matemática] f [/ matemática] que no es idénticamente cero sino [matemática] | f | = 0 [/ matemática] porque la función no es cero en un subconjunto demasiado pequeño de el espacio, uno redefine el espacio nuevamente considerando dos funciones [matemáticas] f [/ matemáticas] y [matemáticas] g [/ matemáticas] equivalentes si [matemáticas] | fg | = 0 [/ matemáticas]. Las clases de equivalencia (clase de equivalencia – Wikipedia) bajo esta relación pueden mostrarse como un espacio vectorial. Los matemáticos suelen llamar a este espacio vectorial [matemático] L ^ 2 (S) [/ matemático], donde [matemático] S [/ matemático] es el espacio de algo así como configuraciones de partículas. Este ajuste técnico a menudo es considerado razonablemente técnico por los no matemáticos. Este tipo particular de espacio vectorial complejo se llama espacio de Hilbert porque tiene este producto interno [matemática] [/ matemática] y satisface el requisito técnico adicional de que si hacemos una serie infinita [matemática] f_1 + f_2 + f_3 + … [/ math] donde [math] | f_1 | + | f_2 | + | f_3 | +… [/ math] converge, la serie original converge a alguna [math] f [/ math], lo que significa que como [math] n [/ math] va al infinito, [math] | f-f_1-f_2-… -f_n | [/ math] va a 0. Ver Hilbert space – Wikipedia para una discusión más larga. Solía ser el caso de que los físicos al decir “espacio de Hilbert” tendían a significar un espacio de Hilbert que es de dimensión infinita y también solo dimensionalmente infinitamente contable (es decir, no “demasiado grande”), y como Wikipedia señala estos espacios aunque pueden construirse de diferentes maneras, todas son estructuralmente iguales.
A menudo, se consideran funciones de onda solo aquellas [matemáticas] f [/ matemáticas] que están normalizadas a [matemáticas] | f | = 1 [/ matemáticas], pero con el entendimiento de que para un factor de fase complejo [matemáticas] c [/ matemática] satisfactoria [matemática] | c | = 1 [/ matemática] la función de onda [matemática] f [/ matemática] y la función de onda [matemática] cf [/ matemática] son equivalentes. (Alternativamente, algunos tratamientos permiten cualquier [matemática] f [/ matemática] donde [matemática] | f |> 0 [/ matemática] y luego consideran [matemática] f [/ matemática] equivalente a [matemática] cf [/ matemática] para cualquier número complejo distinto de cero [matemática] c [/ matemática], que es equivalente al final).
Hay varias razones por las cuales el punto de vista abstracto (hablando del espacio de Hilbert en lugar de ejemplos concretos en términos de funciones de onda) se vuelve útil. Una de las pequeñas es la razón por la que tuve que seguir llamando a [math] S [/ math] un espacio de configuraciones “similares”. El giro cuántico exige que usemos algo más elaborado que solo una función de onda en el espacio de configuración; básicamente hay diferentes amplitudes para los diferentes estados de espín posibles.
Para algunos propósitos, la forma en que definí [matemática] L ^ 2 [/ matemática] anterior se vuelve inconveniente. Comencé con el espacio de todas las funciones complejas posibles, que es algo incorrecto. A veces es más conveniente tomar un conjunto más pequeño de funciones, como funciones continuas en dominios delimitados (que no sufren el problema de que la integral sea ilimitada o accidentalmente cero), que puede aproximarse a cualquier elemento de [matemáticas] L ^ 2 [/ matemáticas] con la precisión que deseemos, y luego llene el resto del espacio tomando límites. Para este tipo de ajuste técnico es más fácil pensar en términos de espacios vectoriales generales que en realizaciones concretas individuales de ellos. Llenar un espacio al incluir límites de secuencias es un enfoque general que uno ve varias veces en matemáticas.
En la teoría de campo cuántico se obtiene una construcción aún más elaborada para el “estado”, aún como una función de onda pero con diferentes representaciones posibles. Este tipo de complicación motiva un cambio hacia descripciones más abstractas de la teoría, que parten del supuesto de que los estados están representados por elementos de un espacio de Hilbert, o incluso de manera más abstracta que los observables y los estados son elementos de un espacio de operadores como un C * álgebra (C * -álgebra – Wikipedia). La mecánica cuántica en su forma más simple le da una descripción relativamente concreta de la función de onda, luego los operadores en ella y luego observa que satisfacen las leyes algebraicas abstractas. Más tarde, las personas hasta cierto punto trabajan hacia atrás, introduciendo las leyes algebraicas para ser satisfechas por alguna teoría de campo como fundamentales para la teoría, y luego encuentran una realización más concreta de las leyes. Para decirlo de otra manera, uno comienza teniendo en cuenta cómo debe ser el resultado final.
