Cómo encontrar el área de una mano en papel cuadriculado

Con la elegante fórmula Shoelace puedes calcular eficientemente el área de un polígono.

Para este fin, primero simplifique los contornos redondos de su mano con un contorno lineal por piezas. Asegúrese de que haya un equilibrio entre la sobreestimación local y la subestimación.

Ahora almacene los pares de coordenadas en una lista ordenada en Excel u otro programa. No importa con qué nodo comiences.

Ahora suponga que su mano es un triángulo, con pares de coordenadas.

[matemáticas] \ {(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \} [/ matemáticas]

Entonces el área se puede calcular de la siguiente manera:

[math] \ mathbf {A} _ \ text {tri.} = {1 \ over 2} | x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 – x_2y_1 – x_3y_2 – x_1y_3 | [/matemáticas]

Izquierda: contorno de la mano simplificado con un polígono. Derecha: dibujo esquemático de la estructura de la fórmula del cordón.

Ejemplo en Excel:

Consejos extra:

Sería un buen comienzo de su informe, para motivar su método final, discutiendo brevemente algunas de las opciones mencionadas en todas las respuestas aquí; como sus beneficios y desventajas.

Aún mejor sería usar dos métodos, comparar los resultados y discutir las diferencias.

¡Buena suerte!

Aquí hay otros dos métodos además de los ya descritos.

Cuente el número de intersecciones de línea dentro del contorno de su mano. La razón de esto al número total de intersecciones en la hoja es una estimación de la razón del área del contorno de su mano al área del papel.

Por ejemplo, si tiene papel de 8.5 x 11 pulgadas con cuatro cuadrados por pulgada, hay 1.496 intersecciones (8.5 x 4 x 11 x 4, para ser aún más precisos, debe restar la mitad de las intersecciones en los bordes del papel , es decir, restar 77 para obtener 1,429). Digamos que 500 de ellos están dentro de su mano (como sugirieron otras personas, puede contar más rápido haciendo algunos rectángulos para cubrir las áreas grandes). El área del contorno de su mano está cerca de 500 x 8.5 x 11 / 1,429 (o 1,496) pulgadas cuadradas.

Esta es una variante de la integración de Monte Carlo. En Monte Carlo, utiliza puntos aleatorios en lugar de puntos de intersección. Pero eso es para protegerse contra ciertas formas especiales que podrían incluir o excluir preferentemente puntos de intersección. Para su mano, el uso de puntos fijos es en realidad más preciso. Técnicamente es un caso extremo de cuasi-Monte Carlo; cuasi-Monte Carlo agrega algo de aleatoriedad en torno a puntos fijos, solo agrega cero aleatoriedad. O, si lo desea, podría usar una computadora para generar un montón de puntos aleatorios distribuidos uniformemente en el papel y contarlos en su lugar.

Obviamente, contar las intersecciones es similar a contar cuadrados y cuadrados parciales, pero es más fácil y probablemente más preciso a menos que sea excepcionalmente cuidadoso y bueno para estimar áreas. Además, hay más teoría detrás de esto.

La segunda idea es una variante del enfoque de la aguja de Buffon para estimar pi. Coloque el papel con el contorno sobre la mesa y arroje una moneda de diez centavos u otro objeto pequeño sobre el papel. Mezcle lo suficientemente lejos como para que pueda aterrizar en cualquier parte del papel con aproximadamente la misma posibilidad. Registre si cae completamente dentro del contorno de la mano, completamente afuera o en una línea. Si no cae en el papel, no cuenta. Si cae en parte en el papel y en parte, cuenta la mitad.

Tome la proporción de (lanzamiento del contorno interior + tiradas en la línea / 2) / (tira completamente en el papel + tiradas en parte en el papel / 2), y multiplique eso por el área de su papel. Con 100 lanzamientos casuales, esto no será tan preciso como contar las intersecciones, y no hace uso del papel cuadriculado, pero es inteligente y más divertido.

Cuente los cuadrados definitivamente dentro del límite. Agregue eso a la mitad del recuento de los cuadrados que intersecan el límite. Multiplique la suma resultante por el tamaño de un cuadrado.

El factor de 1/2 supone que, en promedio, solo 1/2 del área de los cuadrados del límite está dentro del límite. Por supuesto, en realidad otros factores, como cómo presionas tu mano sobre el papel, probablemente importen más.

En la organización científica donde trabajé alrededor de 1970, lo harían de la siguiente manera:

• calcular el área de la hoja rectangular de papel conociendo sus dimensiones
• cortando cuidadosamente el área que querían medir
• pesar el trozo de papel cortado en una balanza sensible
• pesar toda la sábana
• calcular el área a partir de la relación del peso de la pieza pequeña a la hoja completa

Cuenta los cuadrados cubiertos por el contorno de tu mano. Luego multiplica por el área de un solo cuadrado. Por ejemplo, si son cuadrados de 5 mm, cada cuadrado tiene un área de [matemáticas] 25 \ textrm {mm} ^ 2 [/ matemáticas]; así que si contó [matemática] n [/ matemática] casillas cubiertas, el área total es [matemática] 25 \ veces n [/ matemática], en [matemática] \ textrm {mm} ^ 2 [/ matemática].

Como dices que es tu clase de ciencias, supongo que estás en la secundaria o en la secundaria. La forma más fácil sería contar los cuadrados dentro de su mano y realizar un seguimiento de todos los cuadrados llenos a medias y los cuadros llenos de terceros alrededor de los bordes de su mano, y sumar esas fracciones al final también.

Una forma de acelerar este proceso sería crear grandes rectángulos que se encuentren dentro de su cuadrado. Es fácil calcular cuántos cuadrados hay en un rectángulo porque solo tienes que contar cuántos hay en la longitud y multiplicarlos por cuántos en el ancho.

No tenga miedo de no ser exactos con su medición, no están buscando la perfección (y como eventualmente aprenderá, mucha ciencia se trata de hacer aproximaciones de todos modos).

EDITAR: Lo siento, no leí la parte sobre papel cuadriculado. Puede dividir fácilmente su mano como una colección que consiste en un rectángulo grande, que contiene su palma, y ​​otros 5 rectángulos, sus dedos. Ahora use el papel cuadriculado para encontrar el ancho y la altura (estimados) de cada rectángulo y luego sume todos.