La totalidad de la electrodinámica en la época de Maxwell era la siguiente:
- [matemáticas] \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {E} = \ frac {\ rho} {\ epsilon_0} [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {B} = \ vec {0} [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ vec {\ nabla} \ times \ vec {E} = – \ frac {\ partial \ vec {B}} {\ partial t} [/ math]
- [matemáticas] \ vec {\ nabla} \ times \ vec {B} = \ mu_0 \ vec {J} [/ matemáticas]
Las dos primeras son la ley de Gauss para campos eléctricos y magnéticos. La tercera se conoce como la ley de Faraday. El cuarto es la ley de los amperios. Junto con esto está la ecuación de continuidad, [matemática] \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {J} + \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} = 0 [/ matemática] (5) que es el Representación matemática de la conservación de la carga.
Ahora, sabemos que en general, la divergencia de un rizo es cero .
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Tomando la divergencia de la ley de Faraday (3), vemos que
[matemáticas] \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {\ nabla} \ times \ vec {E} = – \ vec {\ nabla} \ cdot \ frac {\ partial \ vec {B}} {\ partial t} [/matemáticas]
lo que implica
[matemáticas] \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {\ nabla} \ times \ vec {E} = – \ frac {\ partial} {\ partial t} \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {B} [/matemáticas].
El lado derecho es cero en virtud de (2) y es consistente con el hecho de que la divergencia de un rizo es cero.
Pero, tomar la divergencia de la ley de Ampere (4) conduce a una inconsistencia matemática.
[matemáticas] \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {\ nabla} \ times \ vec {B} = \ mu_0 \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {J} [/ math]
lo que implica,
[matemáticas] 0 = \ mu_0 \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {J} [/ matemáticas].
El lado derecho es cero solo para el caso especial cuando [math] \ vec {J} [/ math] es independiente de la posición como en electrostática y magnetostática. Pero en general, [matemáticas] \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {J} [/ matemáticas] no es cero,
[matemáticas] \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {J} = – \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} [/ math].
Esta es la inconsistencia asociada con la ley de Ampere.
Maxwell se propuso abordar este problema y buscó formas de resolverlo utilizando las otras ecuaciones.
Tenga en cuenta que,
[matemáticas] \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {J} = – \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} = – \ frac {\ partial} {\ partial t} \ epsilon_0 \ nabla \ cdot \ vec {E} = – \ nabla \ cdot \ Big (\ epsilon_0 \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} \ Big) [/ math], usando (1).
Esto implica que
[matemáticas] \ vec {\ nabla} \ cdot \ Big (\ vec {J} + \ epsilon_0 \ frac {\ partial} {\ partial t} \ vec {E} \ Big) = 0 [/ matemáticas]. [matemáticas ] [/matemáticas]
Por lo tanto, la ley de Ampere modificada ahora se puede escribir como
[matemáticas] \ vec {\ nabla} \ times \ vec {B} = \ mu_0 \ vec {J} + \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {\ partial} {\ partial t} \ vec {E} [/ math]
El término adicional agregado por Maxwell se conoce como la corriente de desplazamiento.
