Aquí está el procedimiento:
- Primero determine la aceleración usando la segunda ley de Newton (F = ma)
- Luego use las ecuaciones de movimiento de Newton para determinar el tiempo de viaje, la distancia recorrida, etc.
PASO 1. Determine la aceleración
Primero dibuje un diagrama de cuerpo libre del bloque. Un diagrama de cuerpo libre muestra todas las fuerzas que actúan sobre el objeto.
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Observe que he definido un conjunto rotado de ejes y los etiqueté como x ‘e y’. El eje x ‘es paralelo al plano inclinado y el eje y’ es perpendicular al plano. Elegí el eje x positivo en el plano. El componente del peso (mg) que actúa en el plano se encuentra resolviendo el peso en componentes como se muestra a continuación:
Entonces, el componente del peso que actúa en el plano es [matemática] (mg) sin \ theta [/ matemática]. Cuando el bloque se mueve hacia arriba en el plano, la fuerza de fricción actúa en el plano (opuesto a la dirección del movimiento) como se muestra en mi diagrama de cuerpo libre. Para determinar [math] F_ {fric} [/ math], primero necesitamos resolver la fuerza normal entre el bloque y el plano.
Para determinar [matemáticas] F_ {N} [/ matemáticas], escriba la ley de Newton en la dirección y ‘:
[matemáticas] \ Sigma F_ {y ‘} = ma_ {y’} [/ matemáticas]
El bloque no se levanta de la pendiente, por lo que [math] a_ {y ‘} = 0 [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] F_ {N} – (mg) cos \ theta = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] F_ {N} = (mg) cos \ theta [/ matemáticas]
Ahora escriba la segunda ley de Newton en la dirección x ‘y recuerde que elegí x’ positivo en el plano.
[matemáticas] \ Sigma F_ {x ‘} = ma_ {x’} [/ matemáticas]
Consulte mi diagrama de cuerpo libre para ver qué fuerzas actúan en la dirección x ‘
[matemáticas] (mg) sin \ theta + F_ {fric} = ma_ {x ‘} [/ matemáticas]
[matemáticas] (mg) sin \ theta + \ mu_k F_ {N} = ma_ {x ‘} [/ matemáticas]
pero [matemáticas] F_ {N} = (mg) cos \ theta [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] (mg) sin \ theta + \ mu_k (mg) cos \ theta = ma_ {x ‘} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que podemos cancelar la masa ya que aparece en cada término. Esto significa que la respuesta será la misma independientemente de la masa.
[matemáticas] (g) sin \ theta + \ mu_k (g) cos \ theta = a_ {x ‘} [/ matemáticas]
[matemáticas] (9.81) sin30 + (0.16) (9.81) cos30 = a_ {x ‘} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_ {x ‘} = 6.264 \ frac {m} {s ^ 2} [/ matemáticas]
Esta respuesta positiva nos dice que la aceleración está abajo del plano ya que definí positivo = abajo del plano. Lo que significa que el bloque se desacelera si el bloque se mueve hacia arriba en el plano.
PASO 2. Determine la distancia recorrida por el avión
Ahora que tenemos la aceleración, podemos usar las leyes de movimiento de Newton para resolver muchas cosas diferentes. Las tres ecuaciones de movimiento de Newton son:
[matemática] S = V_ {i} t + \ frac {1} {2} en ^ {2} [/ matemática] ————– ecuación 1
[matemáticas] V_ {f} = V_ {i} + en [/ matemáticas] ————— ecuación 2
combina la ecuación 1 y la ecuación 2 para eliminar “t” da
[matemáticas] V_ {f} ^ {2} -V_ {i} ^ {2} = 2aS [/ matemáticas] ————— ecuación 3
Nuevamente, es muy recomendable observar su convención de signos en estas ecuaciones. Como ya elegí positivo = en el plano, me quedaré con eso. Elija una ecuación o una combinación de ecuaciones basadas en la variable desconocida que busca y en función de la información proporcionada en el problema. Sabemos que [matemáticas] V_i = -12 \ frac {m} {s} [/ matemáticas] (negativo según mi convención de signos), y sabemos que [matemáticas] V_f = 0 [/ matemáticas] ya que se detiene. Entonces la ecuación 3 debería funcionar para nosotros.
[matemáticas] V_ {f} ^ {2} -V_ {i} ^ {2} = 2aS [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 – (- 12) ^ 2 = 2 (6.264) S [/ matemáticas]
[matemáticas] S = -11,49 m [/ matemáticas]
Como definí negativo = arriba del plano, S = 11.49 m arriba del plano antes de que se detenga.
Pregunta (Parte B): Si el bloque regresa, ¿cuál es su velocidad cuando llega al fondo del avión?
Para esta parte de la pregunta usamos el mismo proceso de 2 pasos:
- Determine la aceleración en el plano usando la segunda ley de Newton (F = ma)
- Luego usa las ecuaciones de movimiento de Newton para determinar su velocidad en la parte inferior
El diagrama de cuerpo libre se verá idéntico como se muestra arriba, excepto que ahora se invierte la dirección de la fuerza de fricción. Todas las otras fuerzas que actúan son iguales.
Una vez más, escribimos la segunda ley de Newton en la dirección x ‘y recordamos que elegí x’ positivo en el plano.
[matemáticas] \ Sigma F_ {x ‘} = ma_ {x’} [/ matemáticas]
tenga en cuenta que ahora “restamos” la fuerza de fricción:
[matemáticas] (mg) sin \ theta-F_ {fric} = ma_ {x ‘} [/ matemáticas]
[matemáticas] (mg) sin \ theta- \ mu_k F_ {N} = ma_ {x ‘} [/ matemáticas]
[matemáticas] (mg) sin \ theta- \ mu_k (mg) cos \ theta = ma_ {x ‘} [/ matemáticas]
[matemáticas] (g) sin \ theta- \ mu_k (g) cos \ theta = a_ {x ‘} [/ matemáticas]
[matemáticas] (9.81) sen30- (0.16) (9.81) cos30 = a_ {x ‘} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_ {x ‘} = 3.546 \ frac {m} {s ^ 2} [/ matemáticas]
Esta respuesta positiva confirma que la aceleración está en el plano. Ahora usaré la ecuación 3 (arriba) con [matemáticas] V_ {i} = 0 [/ matemáticas] para resolver la velocidad final después de viajar 11.49 m de regreso por el plano:
[matemáticas] V_ {f} ^ {2} -V_ {i} ^ {2} = 2aS [/ matemáticas]
[matemáticas] V_ {f} ^ {2} -0 = 2 (3.546) (11.49) [/ matemáticas]
[matemáticas] V_ {f} = 9.03 \ frac {m} {s} [/ matemáticas]
