Primero, tu ecuación está un poco apagada. La impedancia característica de una línea de transmisión es
[matemáticas] \ displaystyle Z_0 = \ sqrt {\ frac {R + j \ omega L} {G + j \ omega C}} [/ matemáticas]
La forma en que esto se llega normalmente no utiliza las ecuaciones de Maxwell, sino el análisis de circuito básico. Comenzamos con un modelo básico de línea de transmisión.
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Donde R, L, G y C son la resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia de la línea por unidad de longitud. Lo anterior se repite a lo largo de toda la línea. Podemos ver una sección individual de este modelo, que contiene solo una R, L, G y C, y resolver los valores que queremos.
Para entender por qué este es el modelo de la línea de transmisión, piense en qué es una línea de transmisión. Son dos conductores, separados por algo dieléctrico (o aire). Cada conductor tiene cierta resistencia R, incluso si es pequeña. Los conductores también tienen una inductancia por unidad de longitud L. Así que los representamos en serie. Además, algo de corriente podría viajar a través del pequeño espacio, representado por la conductancia G. Y si recuerdas, un condensador es solo dos placas de metal separadas por un dieléctrico. Esto es casi exactamente lo que tenemos aquí, incluso si no queremos exactamente que la línea actúe como un condensador, pero no podemos evitar que lo haga. Entonces tenemos una capacitancia por unidad de longitud C. Esas están representadas en paralelo.
Como lo planeamos, simplemente tomamos un solo segmento y calculamos la impedancia a partir de ahí. Comenzamos por encontrar y escribir la impedancia de cada componente.
[matemáticas] R \ xrightarrow. R [/ matemáticas]
[matemáticas] L \ xrightarrow. j \ omega L [/ matemáticas]
[matemáticas] G \ xrightarrow. G [/ matemáticas]
[matemáticas] C \ xrightarrow. \ frac {1} {j \ omega C} [/ matemáticas]
(Tuve que usar puntos para que las flechas funcionen)
A partir de aquí, podemos escribir una serie de ecuaciones para determinar el voltaje a cada lado del elemento individual, y la corriente que pasa a través de la resistencia y el inductor y a través del condensador y la conductancia. El álgebra se involucra un poco más aquí, pero no es demasiado difícil de resolver. Simplemente aplica las leyes de voltaje y corriente de Kirchoff. Hacerlo te da las siguientes ecuaciones.
[matemáticas] \ displaystyle – \ frac {dV (z)} {dz} = (R + j \ omega L) I (z) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle – \ frac {dI (z)} {dz} = (G + j \ omega C) V (z) [/ matemáticas]
Donde V (z) e I (z) representan el voltaje y la corriente en un punto particular de la línea de transmisión. En nuestro caso, este es el voltaje y la corriente en el lado izquierdo de nuestro segmento individual arriba. Podemos usar estas dos ecuaciones, y algo más de álgebra, para llegar a la ecuación para la impedancia característica
[matemática] \ displaystyle Z_0 = \ sqrt {\ frac {R + j \ omega L} {G + j \ omega C}} [/ math].
Para hacer esto, por supuesto necesitamos definir V (z) e I (z). Ahora, antes de continuar, recomendaría dar por sentado lo anterior a menos que esté bastante cómodo con el análisis de circuitos y la teoría de señales. No es demasiado complejo, pero algunos de los conceptos pueden parecer un poco extraños. Definitivamente sigue leyendo, pero no te preocupes si no tiene mucho sentido la primera vez.
En general, hacemos esto diciendo que el voltaje es la suma de un voltaje que se mueve hacia abajo por la línea de transmisión y un voltaje reflejado (reflejado de la carga que conectamos al final de la línea) que viaja de regreso hacia arriba. La misma idea para la corriente. Esta es la parte extraña a la que aludí anteriormente, ya que es posible que no esté familiarizado con un voltaje y una corriente que “viajan en ambos sentidos” en la línea, pero es esencialmente lo que está sucediendo. Termina siendo eso
[matemáticas] \ displaystyle V (z) = {V_0} ^ + e ^ {- \ gamma z} + {V_0} ^ – e ^ {\ gamma z} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle I (z) = {I_0} ^ + e ^ {- \ gamma z} + {I_0} ^ – e ^ {\ gamma z}. [/ math]
Esto puede parecer complicado, pero en realidad no hay demasiadas variables aquí. [math] {V_0} ^ + [/ math] y las otras similares son solo constantes que muestran la magnitud de los diferentes voltajes y corrientes de avance y retroceso. z es la posición en la línea, y [math] \ gamma [/ math] se llama la ‘constante de propagación’ de la línea y puede calcularse a partir de las ecuaciones que provienen de las Leyes de Kirchoff anteriores y resolver una ecuación diferencial. Por último,
[matemáticas] \ gamma = \ sqrt {\ left (R + j \ omega L \ right) \ left (G + j \ omega C \ right)} [/ math]
Usando todo lo que hemos recopilado, finalmente podemos calcular la impedancia característica real, sustituyendo las ecuaciones de V (z) e I (z) en nuestras leyes de Kirchoff. ¡Y eso es! No se necesitan ecuaciones de Maxwell. ¡Espero que esto haya ayudado!
Primer crédito de imagen a All About Circuits. Te recomiendo que mires allí para conocer el circuito general y la electrónica, ¡son geniales!
