Para comprender el campo H, deberíamos leer el artículo Una teoría dinámica del campo electromagnético , en el que aparecieron por primera vez las ecuaciones de Maxwell. En la Parte III, Maxwell usa [math] (\ alpha, \ beta, \ gamma) [/ math] para denotar el campo que (siguiendo a Heaviside) ahora llamamos [math] \ mathbf {H} [/ math].
Estas cantidades se introducen así (énfasis mío):
Deje que [math] \ alpha, \ beta, \ gamma [/ math] represente la fuerza que actúa sobre un polo magnético unitario colocado en el punto dado resuelto en las direcciones de [math] x [/ math], [math] y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas].
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Es decir,
[matemáticas] \ begin {ecation} \ mathbf {F} = m \ mathbf {H} \ end {ecation} [/ math]
de manera análoga a
[matemáticas] \ begin {ecation} \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} \ end {ecation} [/ math]
donde [math] m [/ math] es la carga magnética de una partícula.
Tenga en cuenta también que Maxwell usa [math] \ mu \ alpha, \ mu \ beta, \ mu \ gamma [/ math] para denotar lo que ahora llamamos el campo B; no le da al campo B su propio conjunto de tres símbolos. Esto refleja claramente la creencia de que H era el campo fundamental. Cuando Maxwell introduce [math] \ mu \ alpha, \ mu \ beta, \ mu \ gamma [/ math], se refiere a estas cantidades como “número de líneas de fuerza en unidad de área”, que corresponde aproximadamente al término moderno “densidad de flujo magnético”.
Interludio: por eso hoy se pierde el significado físico de H: ya no creemos en las cargas magnéticas. H no tiene significado físico a menos que lo tengamos.
Ahora volvamos al siglo XXI y preguntémonos: ¿cómo pudieron Maxwell y sus contemporáneos haber obtenido una teoría sensata sobre la carga magnética cuando nunca encontraron ninguna, cuando ahora sabemos que ninguno de los campos magnéticos que observamos se debe realmente al libre cargas magnéticas en absoluto?
Bueno, la cuestión es que [math] \ mathbf {H} [/ math], a diferencia de [math] \ mathbf {B} [/ math], realmente no está libre de fuentes. En efecto
[matemáticas] \ begin {ecation} \ nabla \ cdot \ mathbf {H} = – \ nabla \ cdot \ mathbf {M} \ end {ecuación} [/ math]
y no hay razón para que el lado derecho desaparezca, en general; bien podemos tener una magnetización espacialmente variable. De hecho, incluso si la magnetización es uniforme en el interior de un imán, ciertamente varía en el límite entre el imán y sus alrededores. Entonces, ¿qué pasa si llamamos al lado derecho la densidad de carga magnética ?
[matemáticas] \ begin {ecation} m = – \ nabla \ cdot \ mathbf {M} \ end {ecation} [/ math]
Esto tiene una similitud sospechosa con la ecuación de lo que llamamos la densidad de carga eléctrica unida ,
[matemáticas] \ begin {ecation} \ rho_b = – \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ end {ecation} [/ math]
Pero eso está mal, dices. Para la carga eléctrica, la densidad es físicamente real. Surge de una separación de cargas opuestas dentro del material, lo que hace que la densidad de carga promediada espacialmente en el material se desvíe realmente de cero. Cuando la carga ligada se acumula en la superficie de un objeto, es una carga real. Sin embargo, no hay cargas magnéticas fundamentales, punto , por lo que la carga magnética enlazada no puede ser real de la misma manera. La magnetización [math] \ mathbf {M} [/ math] proviene de la alineación de dipolos magnéticos puntuales como los electrones, no de la separación de las cargas magnéticas positivas y negativas.
Y sin embargo … en una configuración estática sin corriente libre, realmente tenemos
[matemáticas] \ begin {align} \ nabla \ cdot \ mathbf {H} & = m \\ \ nabla \ times \ mathbf {H} & = 0 \ end {align} [/ math]
implicando que bajo tales circunstancias, H puede escribirse como
[matemáticas] \ begin {ecation} \ mathbf {H} = – \ nabla \ phi_m \ end {ecation} [/ math]
donde el “potencial magnético” [matemática] \ phi_m [/ matemática] satisface la ecuación de Poisson:
[matemáticas] \ begin {ecation} \ nabla ^ 2 \ phi_m = -m \ end {ecation} [/ math]
y por lo tanto tenemos una “ley de Coulomb” para H,
[matemáticas] \ begin {ecation} \ mathbf {H} = \ frac {1} {4 \ pi} \ int \ frac {\ mathbf {r} – \ mathbf {r} ‘} {\ | \ mathbf {r} – \ mathbf {r} ‘\ | ^ 3} m \, \ mathrm {d} \ mathbf {r}’ \ end {ecuación} [/ math]
Así que ese es el significado físico de H: H es para carga magnética como E es para carga eléctrica.
Queda una pregunta intrigante. Recuerde las expresiones para el campo eléctrico de un dipolo eléctrico puntual en el origen:
[matemáticas] \ begin {ecation} \ mathbf {E} = \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_0 r ^ 3} (3 (\ mathbf {p} \ cdot \ hat {\ mathbf {r}}) \ sombrero {\ mathbf {r}} – \ mathbf {p}) \ end {ecuación} [/ math]
y el campo magnético de un dipolo magnético puntual en el origen:
[matemáticas] \ begin {ecation} \ mathbf {B} = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi r ^ 3} (3 (\ boldsymbol \ mu \ cdot \ hat {\ mathbf {r}}) \ hat { \ mathbf {r}} – \ boldsymbol \ mu) \ end {ecuación} [/ math]
Si estas expresiones son idénticas, implica que la relación entre E y la polarización es exactamente análoga a la relación entre B y la magnetización. Y sin embargo, ese no es el caso, porque en un sistema estático sin cargas o corrientes libres,
[matemáticas] \ begin {align} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = \ rho_b / \ epsilon_0 \\ \ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \ end {align} [/ math]
La divergencia de B no es, como cabría esperar, [matemática] \ mu_0 m [/ matemática], con [matemática] \ rho_b = – \ nabla \ cdot \ mathbf {P} [/ matemática] y [matemática] m = – \ nabla \ cdot \ mathbf {M} [/ math].
¿Cómo pueden los campos E y B comportarse de manera diferente cuando los dipolos eléctricos y los dipolos magnéticos dan el campo de manera análoga?
Y la respuesta es esta: si realmente hubo cargas magnéticas, y los dipolos magnéticos se construyeron como dipolos eléctricos, a partir de la separación de cargas magnéticas opuestas, como los denominados dipolos de Gilbert , entonces la analogía sería precisa. Pero un dipolo magnético construido a partir de cargas magnéticas opuestas, un dipolo de Gilbert, difiere de un dipolo magnético construido a partir de un bucle infinitesimal de corriente, un dipolo Ampère. Producen el mismo campo magnético en todas partes excepto el origen , o el mismo punto en el que se encuentra el dipolo.
Para el verdadero campo de un dipolo eléctrico incluye un término de función delta, que omití anteriormente,
[matemáticas] \ begin {ecation} – \ frac {1} {3 \ epsilon_0} \ mathbf {p} \ delta (\ mathbf {r}) \ end {ecation} [/ math]
y para el campo magnético, hay un término de función delta similar, pero no el mismo:
[matemáticas] \ begin {ecation} + \ frac {2 \ mu_0} {3} \ boldsymbol \ mu \ delta (\ mathbf {r}) \ end {ecation} [/ math]
Para un dipolo de Gilbert, el término de función delta sería como el eléctrico,
[matemáticas] \ begin {ecation} – \ frac {\ mu_0} {3} \ boldsymbol \ mu \ delta (\ mathbf {r}) \ end {ecation} [/ math]
y tendríamos [math] \ mathbf {B} = \ mu_0 \ mathbf {H} [/ math] en todas partes desde [math] \ mathbf {B} [/ math] y [math] \ mathbf {H} [/ math ] obedecería la misma “ley de Coulomb” excepto por un factor de [math] \ mu_0 [/ math]. Pero la diferencia en los términos de la función delta hace que la ley de Coulomb para B solo sea precisa fuera del material magnetizado. Dentro del material, hay una discrepancia en la cantidad de la diferencia entre los dos términos de función delta,
[matemáticas] \ begin {ecation} \ mu_0 \ boldsymbol \ mu \ delta (\ mathbf {r}) \ end {ecation} [/ math]
y cuando promediamos los diversos dipolos en una pequeña región, esto se convierte en
[matemáticas] \ begin {ecation} \ mu_0 \ mathbf {M} \ end {ecation} [/ math]
que es precisamente la pieza extra que tenemos que agregar para obtener la B real,
[matemáticas] \ begin {ecation} \ mathbf {B} = \ mu_0 \ mathbf {H} + \ mu_0 \ mathbf {M} \ end {ecuación} [/ math]
Entonces, la diferencia entre B y H es la diferencia entre el modelo Ampère, en el que las corrientes eléctricas son las fuentes de los campos magnéticos, y el modelo Gilbert, en el que las cargas magnéticas son las fuentes de los campos magnéticos. H “pierde” tener un verdadero significado físico precisamente por esto, porque todos los dipolos magnéticos son dipolos Ampère y no dipolos Gilbert.
