La ecuación de Klein-Gordon para un solo campo escalar real no tiene un grado de libertad de carga, pero si escribe las ecuaciones para un campo escalar complejo , entonces hay una simetría global U (1) que resulta de multiplicar el campo escalar y su conjugado complejo por un número complejo con unidad de magnitud, que luego conduce a una corriente conservada y una carga conservada asociada que genera la transformación de simetría.
Entonces, si escribe el Hamiltoniano para el campo escalar complejo, toma la forma básica:
[matemáticas] H = \ int d ^ 3 \, x (pp ^ \ dagger + \ partial_i \ phi ^ \ dagger [/ math] [matemáticas] \ partial_i \ phi + m ^ 2 \ phi ^ \ dagger \ phi) [/ matemáticas]
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dónde
[matemáticas] p = \ dot {\ phi ^ \ dagger}, p ^ \ dagger = \ dot {\ phi}, [/ math]
y luego se puede escribir la corriente conservada
[matemáticas] j_ \ mu = – i \ left (\ phi ^ \ dagger \ partial_ \ mu \ phi – \ partial_ \ mu \ phi ^ \ dagger \ phi \ right), [/ math]
para que la carga conservada sea
[matemáticas] Q = \ int d ^ 3x \, j_0 (x). [/ matemáticas]
Entonces es bastante fácil mostrar a partir de las relaciones de conmutación canónica entre los momentos y las coordenadas que [matemáticas] [Q, H] = 0. [/ Matemáticas]
La forma de la corriente se deriva de la densidad lagrangiana por el truco de Noether de hacer una transformación local U (1) infinitesimal y exigir que la acción sea invariante al orden más bajo para una variación muy cercana al camino clásico.
