¿Cómo se vería un objeto girando en todas las direcciones simultáneamente?

Aquí hay un hecho divertido.

Los polinomios reales de grado impar siempre tienen una raíz real.

Si no está seguro de lo que esto significa, no se preocupe demasiado por eso. Simplemente dice que las ecuaciones que involucran potencias de lo desconocido con coeficientes reales siempre tienen al menos una solución (en números reales) si la potencia más grande es un número impar.

La ecuación [matemáticas] x ^ 4 + 23 = 0 [/ matemáticas] no tiene ninguna solución real. El hecho no se aplica porque la potencia más alta aquí, [matemáticas] 4 [/ matemáticas], es par.

La ecuación [matemáticas] x ^ 7-12x ^ 3 + 4x ^ 2-5x + 18 = 0 [/ matemáticas] tiene al menos una solución real. No tengo idea de qué es, pero sé con certeza que hay uno.

Este hecho divertido tiene otra implicación divertida: cada rotación del espacio 3D tiene un eje . Esto suena aún mejor en latín:

Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur, diámetro de potenciómetro semper asignaari, cuius directio in situ translato conueniat cum situ initiali.

Este es Leonhard Euler en 1776, el año en que nació Estados Unidos. Dice que cuando una esfera se mueve alrededor de su centro, siempre es posible encontrar un diámetro que no se movió.

(De hecho, cada rotación en cualquier espacio de dimensiones impares tiene un eje. Pero para nuestros propósitos podemos seguir con el conocido espacio tridimensional).

Esto es lo que esto significa: si tomas un cuerpo rígido, por irregular o extraño que sea, y lo giras de cualquier manera, lo que significa que lo mueves de manera que al menos un punto permanezca en su lugar, verás que una línea entera se quedó en su lugar. Tal línea se llama eje de rotación.

(Los objetos físicos no sufren reflejos, así que estoy suprimiendo el tema de la orientación aquí. Pero esto sigue siendo cierto para todos los movimientos rígidos con un punto fijo, también conocido como transformaciones ortogonales. La única diferencia es que el eje también puede invertirse. )

¿Por qué estoy requiriendo que un punto permanezca? Porque cualquier movimiento rígido se puede dividir en dos partes: una traslación , que mueve todo el cuerpo en una dirección particular sin cambiar su orientación, y un movimiento rígido que conserva un punto. Las rotaciones se entienden convenientemente como tales movimientos rígidos con un punto fijo.

Lo que todo esto significa es que un objeto no puede girar en todas las direcciones simultáneamente . De hecho, solo puede girar alrededor de un eje particular, y ese eje va a apuntar en una dirección particular. Ninguna rotación puede tener incluso dos ejes de este tipo, y mucho menos infinitos. Solo uno.

El álgebra lineal es una herramienta realmente útil para comprender el mundo. Los movimientos rígidos se describen perfectamente mediante “transformaciones afines”, y los movimientos rígidos con un punto fijo (es decir, una vez que eliminamos la parte aburrida de la traducción) se describen mediante transformaciones ortogonales.

Al igual que cualquier transformación lineal, nos vemos naturalmente obligados a buscar valores propios y vectores propios de tales transformaciones, y en el caso de espacios de grado impar sobre los reales, observamos que debe haber al menos un vector propio real. Esto se deduce inmediatamente del hecho divertido que cité al comienzo de la respuesta. Para las transformaciones ortogonales, ese vector propio real es simplemente un eje de rotación.

Las dos respuestas que veo aquí responden correctamente la pregunta con el objeto como un cuerpo rígido clásico. Si tiene un cuerpo no rígido, entonces es posible que diferentes partes giren de manera diferente; un ejemplo es la atmósfera de la tierra en la que los vientos soplan en todo tipo de direcciones en todo el planeta todo el tiempo. Ahora la gente argumentará que cada corriente de aire está girando solo en una determinada dirección, pero sin embargo, toda la atmósfera que podemos concebir como un objeto tiene muchas rotaciones simultáneas diferentes. Otro ejemplo cuántico es un electrón unido a un núcleo porque no ‘rotan’ en el sentido clásico a pesar de que pueden tener un momento angular. Lo que las personas muestran comúnmente para visualizar son distribuciones de probabilidad de las ubicaciones probables de un electrón a lo largo del tiempo, pero no existe una comprensión clara del “movimiento” para ellos.

Si el objeto girara en todas las direcciones a la vez, las rotaciones opuestas a cualquier rotación dada cancelarían la rotación original y, por lo tanto, no girarían en ninguna dirección.

Si un círculo en el eje x girara en cero cantidad de tiempo en el eje y en 360 grados, eso sería exactamente igual a una esfera .
Tiempo espacial.