El enfoque canónico es resolver la ecuación de Schroedinger para el hamiltoniano del electrón con n = 1. Se puede ver en muchos lugares, este, por ejemplo, presenta muy bien el enfoque habitual de separación de variables. Entonces se obtiene la probabilidad como el valor absoluto al cuadrado de la función de onda. Dado que los orbitales del caso de un electrón son simétricos esféricamente, solo necesita la solución en la variable r. Encontrarlo sigue siendo muy tedioso, como se puede ver siguiendo la derivación anterior.
Este hamiltoniano y la derivación asociada de una solución asume un átomo de hidrógeno lejos de cualquier influencia perturbadora, incluida una pareja que forma la molécula H2. Cualquier vecino del electrón además de su protón hace que el hamiltoniano sea mucho más complicado, por lo que puede imaginar cuánto más difícil es resolverlo en tal caso. E incluso encontrar una noción simple de un hamiltoniano perturbado por un vecino está abierto a una amplia interpretación.
Un método que pensé hace poco que es general pero relativamente simple es tratar el electrón semiclásicamente como viajando en una órbita elíptica cuya excentricidad y orientación (de lo normal a la órbita) se distribuyen aleatoriamente de acuerdo con una distribución limitada por las influencias vecinas, ya sean partículas cercanas o campos de algún tipo, típicamente magnéticos, electrostáticos o electrodinámicos. Estas dos distribuciones, por supuesto, variarán a medida que los vecinos y los campos vayan y vengan. Para los campos magnéticos y electrostáticos que cambian lentamente, el electrón se mueve lo suficientemente rápido como para que las distribuciones de excentricidad y orientación sean constantes, lo que simplifica enormemente el tratamiento. Para las partículas cercanas y la radiación electromagnética que pasa, el tratamiento apropiado está más allá del alcance de esta respuesta, como dicen. 😉
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Partimos del enfoque de Bohr-de Broglie en el que Bohr considera que la órbita es clásica, es decir, circular o más generalmente elíptica en un plano dado, a lo que De Broglie en 1924 agrega la naturaleza ondulatoria de un electrón. Este último cuantifica la órbita sujeta a la restricción de que un número entero de ondas se ajusta exactamente en la órbita; de manera equivalente, la onda que constituye el electrón no gira en absoluto en ningún marco inercial del átomo. Las introducciones a la mecánica cuántica a menudo comienzan con esta imagen, ya que es mucho más simple que sumergirse directamente en la ecuación de Schroedinger.
Los hamiltonianos suponen implícitamente estas distribuciones. Es intuitivamente obvio que sin perturbaciones la orientación de la órbita se distribuye uniformemente sobre la esfera de la unidad. Menos obvio es la distribución de excentricidades entre 0 (órbita circular) y 1 (pastoreo del protón) determinada por las soluciones a la ecuación de Schroedinger (ni siquiera sé qué es).
La gama de posibles perturbaciones se simplifica enormemente al representar una perturbación de manera abstracta como una distribución de cada una de las excentricidades (sobre el intervalo de la unidad (0, 1)) y la orientación de la órbita (sobre la esfera de la unidad).
Para cualquier excentricidad y órbita dada, uno resuelve las ecuaciones obvias junto con la ecuación de Broglie nλ = 2πr que expresa la estacionariedad del electrón como una onda, donde r es el semieje mayor (el radio en el caso de excentricidad cero) y n = 1 en El estado fundamental. Las otras ecuaciones son las mismas que para la gravedad, F = GMm / r² , pero reemplazando G por k = 1 / (4πε₀) = = 8.897 * 10 ^ 9, masas M ym por cargas Q y q en culombios, lo que hace que la fuerza F = kQq / r² . Aquí Q es la carga del núcleo, es decir, el número de protones multiplicado por la carga e del electrón (entonces Q = e para el núcleo de hidrógeno), y q = e = 1.602 * 10 ^ {- 19}.
Cómo combinar estas ecuaciones para la excentricidad cero, una órbita circular, se desarrolla con más detalle en mi respuesta a ¿Por qué las energías de excitación de los electrones de un átomo son discretas? El resultado puede expresarse como v = c α / n donde v es la velocidad del electrón, c la velocidad de la luz, α es la constante de estructura fina yn es el nivel de energía. Al sustituir esta expresión por v en otras fórmulas que involucran v, se obtienen otras ecuaciones, por ejemplo, la energía cinética del electrón. Para una excentricidad distinta de cero, use la segunda ley del movimiento planetario de Kepler que establece que la línea del núcleo del electrón (en esta aplicación) traza un área igual en el mismo tiempo para inferir la distribución del electrón sobre su órbita, que es menos densa cuando está más cerca del núcleo.
Esto, combinado con las distribuciones de la excentricidad y la oblicuidad, produce la probabilidad de encontrar el electrón en cualquier punto cercano cerca del protón, para cualquier valor de n , no solo el estado fundamental.
Para obtener el caso estándar de no perturbaciones se requiere conocer la distribución de las excentricidades en ese caso. No he investigado esto, y tampoco parece ser ampliamente conocido entre mis conocidos físicos, por lo que puede ser una buena pregunta.
[EDITAR: más tarde me di cuenta de que había omitido uno de los 6 elementos orbitales clásicos de una órbita, a saber, en este marco, la orientación del eje mayor, cuya distribución estará sobre el círculo unitario y dependerá de la perturbación. Aunque no mencioné la posición del electrón en su órbita, otro de los 6 elementos, es el único elemento que varía en el tiempo y se integra al calcular la distribución en una órbita. Los cinco elementos estáticos se pueden resumir como el plano de la órbita (2 elementos como un punto en la esfera de la unidad), la longitud y la orientación del eje semi-mayor (2 elementos como coordenadas polares de un punto en dicho plano) y el excentricidad como un punto en el intervalo unitario (0,1).]
