Si el radio de la Tierra se reduce en un 2.5%, ¿cuál será el valor de g?

No especificó lo que le sucede a la masa de la Tierra, lo cual es muy importante.

Entonces, hay 2 opciones a considerar.

1. La masa se mantiene igual, pero el radio se reduce en un 2.5% (en este escenario, la densidad crece ). De la ecuación newtoniana más simple, g = GM / [matemáticas] R ^ 2 [/ matemáticas]. Si el radio se hace más pequeño por el factor de 1.025, el valor de g se hace más grande por el factor de [matemática] 1.025 ^ 2 [/ matemática] = 1,050625. Significa que en lugar de g = 9.8 m / [math] s ^ 2 [/ math] tendremos aproximadamente g = 10.30 m / [math] s ^ 2 [/ math].
2. La masa se reduce proporcionalmente al volumen (en este escenario, la densidad sigue siendo la misma ). En aras de la simplicidad, supongamos que la densidad de la Tierra es uniforme en todo su volumen espacial (que no es del todo cierto). Entonces la masa se reducirá por el factor de [matemática] 1.025 ^ 3 [/ matemática] = 1,0769 (aproximadamente). Dividiendo esto por [matemáticas] R ^ 2 [/ matemáticas] (ver arriba), que es aproximadamente 1,005, finalmente encontramos que en este escenario g se hace más pequeño por el factor de 1,025. Y en lugar de g = 9.8 m / [math] s ^ 2 [/ math] tendremos aproximadamente g = 9.56 m / [math] s ^ 2 [/ math].

No puedo darle la respuesta explícita, sin embargo, podemos estimarlo.

• Sabemos que [matemáticas] V = \ dfrac {m} {p} [/ matemáticas]. Aproximadamente, podemos decir que la Tierra es una esfera, por lo tanto, su [matemática] V = \ dfrac {4} {3} πR ^ 3 [/ matemática]. Dado que la densidad de masa promedio de la Tierra será aproximadamente la misma, lo único que cambiará es su masa.

Calculemos ahora.

[matemáticas] m_i = \ dfrac {V_i} {p_i} [/ matemáticas]

[matemáticas] m_s = \ dfrac {V_s} {p_s} [/ matemáticas]

[math] i [/ math] significa inicial y [math] s [/ math] para subsecuente.

[matemáticas] \ dfrac {m_s} {m_i} = ({\ dfrac {97.5} {100}}) ^ 3 [/ matemáticas].

• En segundo lugar, deberíamos referirnos a la Ley de la Gravitación Universal de Newton – [matemáticas] F = G \ dfrac {Mm} {R ^ 2} [/ matemáticas]. De lo contrario, sabemos que [math] ma [/ math] es la fuerza neta neta que actúa sobre el objeto.

Por lo tanto, si no tenemos resistencia del aire, [math] G \ dfrac {Mm} {R ^ 2} = ma [/ math] donde [math] M [/ math] es la masa de la Tierra y [math] m [ / math] es la masa del objeto.

A partir de aquí, obtenemos [matemáticas] a = [/ matemáticas] [matemáticas] G \ dfrac {M} {R ^ 2} [/ matemáticas].

Usando esta información, obtenemos:

[matemáticas] a = G \ dfrac {M} {R ^ 2} = G \ dfrac {M (\ dfrac {97.5} {100}) ^ 3} {(0,975R) ^ 2} = g * \ dfrac {97.5 } {100} ≈9.75 [/ matemáticas] [matemáticas] m / s ^ 2 [/ matemáticas].

Espero eso ayude.

Suponga que la Tierra es una esfera con densidad homogénea, entonces [matemática] r ‘= 0.975r [/ matemática] significa que dos factores cambian: la distancia al núcleo y el volumen y, por lo tanto, la masa disminuye. Aviso: no asumo que la masa se mantiene igual y está comprimida para reducirse.

El volumen y la masa son proporcionales a [matemática] r ^ 3 [/ matemática], g es proporcional a la masa y [matemática] 1 / r ^ 2 [/ matemática], lo que significa un factor total de [matemática] r [/ matemática], entonces [matemática] g ‘[/ matemática] se convierte en [matemática] 0.975 g [/ matemática].

En realidad, el núcleo tiene la densidad más alta y la corteza terrestre es bastante ligera, la corteza tiene una densidad promedio de [matemáticas] 2.8 g / cm ^ 3 [/ matemáticas], el manto de la tierra [matemáticas] 4.5 g / cm ^ 3 [ / math] y el núcleo [math] 11 g / cm ^ 3 [/ math]. eso significa que la masa no disminuirá tanto como la distancia. Me sobra hacer una estimación teniendo esto en cuenta, pero [matemáticas] 2.5 \% r [/ matemáticas] va por debajo de la corteza hacia el manto.