¿Por qué están incompletas las ecuaciones de Navier-Stokes? ¿Qué efectos físicos reales ignoran?

La suposición principal en la derivación de las ecuaciones NS es que el fluido es un continuo. En realidad, todos los fluidos son partículas discretas, no un continuo continuo. En la mayoría de los flujos, suponer que el continuo es una idea fantástica y funciona bien, pero hay algunos ejemplos en los que las ecuaciones NS realmente no deberían aplicarse.

Una buena manera de evaluar si las ecuaciones son aplicables es comparar la trayectoria libre media ([matemática] \ lambda [/ matemática]) de las partículas con la escala de longitud de ingeniería de interés (L) (por ejemplo, longitud de la cuerda del perfil aerodinámico, diámetro de un paracaídas, etc.) L debe ser de 6 a 7 órdenes de magnitud más grande que [math] \ lambda [/ math] para aplicar el supuesto continuo.

Aquí hay algunos ejemplos de cuándo las ecuaciones NS no pueden aplicarse por este motivo.

1. Aire rarificado en la atmósfera superior: incluso si L es la longitud total del transbordador espacial, [math] \ lambda [/ math] es tan grande que no tiene sentido considerar un continuo. (Lo siento, no recuerdo los números exactos aquí).
2. Biofluidos: en este caso [matemática] \ lambda [/ matemática] todavía es pequeña pero L ahora también es muy pequeña (por ejemplo, podría ser el diámetro de un glóbulo rojo). Nuevamente, el continuo puede no ser aplicable en esta situación.

Yo diría que las relaciones constitutivas se incluyen como un supuesto implícito en las ecuaciones NS. Me doy cuenta de que para resolver necesitamos hacer algo sobre el tensor de estrés (preferiblemente escribirlo en términos de otras cantidades en las ecuaciones (por ejemplo, velocidades como con fluidos newtonianos)) para resolver las ecuaciones. Pero no es realmente una suposición que deba hacerse para derivar las ecuaciones NS por sí mismas.

La ecuación de Navier Stokes (una ecuación vectorial que es equivalente a tres ecuaciones escalares para el campo de velocidad) es una ecuación de movimiento de cualquier fluido (compresible o incompresible).

Sin embargo, para describir completamente el estado del fluido, se necesitan dos ecuaciones más:

1. La ecuación de continuidad ∂ρ / ∂t + div (ρu) = 0 donde ρ es la densidad del fluido yu su velocidad.
2. Una ecuación de estado, es decir, la dependencia de la presión de la temperatura y la densidad. Por ejemplo, si el fluido es un gas ideal, entonces es la ecuación si el estado sería la ley del gas ideal:

P = nkT donde:

P es la presión

T es la temperatura absoluta (en grados Kelvin)

N es la densidad numérica (número de moléculas por unidad de volumen)

k es la constante de Boltzman (k = 1.381E-23 J / K)