Puede obtener una buena estimación aproximada de manera muy simple, si está dispuesto a conectar un poco de matemática. Una vez más, esta es una respuesta con un poco de matemática, pero nada demasiado complicado.
¡Intenta seguirlo si puedes! ¡No es tan aterrador como parece, lo prometo!
Para empezar, necesita algunas afirmaciones:
- ¿Cuáles son los descubrimientos más destacados en el campo de la astrofísica y el espacio exterior?
- ¿Podría Mercurio ser el núcleo muerto de un planeta gigante gaseoso?
- ¿Podría un planeta en un sistema no estelar ser habitable?
- ¿Existe una masa mínima que un objeto debe tener para soportar satélites en órbita?
- ¿Están las microondas THz (muy) cercanas al infrarrojo de frecuencias muy altas bloqueadas por la atmósfera? ¿Los utilizan los radiotelescopios (p. Ej., Arecibo)?
- La relatividad general es un buen modelo del universo a gran escala.
- Existe una escala de longitud en la que puede modelar el universo como un “fluido perfecto” con densidad uniforme
- Es decir, puede seguir “alejándose” hasta que las escalas más grandes que podamos concebir (galaxias y cúmulos) sean solo fluctuaciones microscópicas en el fluido
- Este “fluido” es isotrópico y homogéneo (igual en todas partes y en todas las direcciones)
Por lo que podemos decir, estos supuestos son todos muy, muy buenos supuestos, aunque si se demuestra que alguno de ellos se rompe, ¡obviamente lo que sigue ya no es cierto!
A partir de estas afirmaciones, puede deducir que la única métrica (ver aquí) que es máximamente simétrica es la llamada métrica de Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker (FLRW), que toma la forma:
[matemáticas] -c ^ 2 d \ tau ^ 2 = -c ^ 2 dt ^ 2 + a (t) ^ 2 \ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) d \ phi ^ 2 \ right] [/ math]
Donde [math] a (t) [/ math] es el factor de escala cosmológica: es lo que nos dice qué tan grande es el universo, al caracterizar la diferencia entre distancias físicas y distancias de desplazamiento, y [math] k [/ matemática] es una parametrización de la curvatura del espacio .
Notamos que [math] a (t) [/ math] está hecho para ser una función del tiempo, lo que implica que el universo cambia de tamaño (se expande o contrae), la razón de esto es simple: no hay razón para que no ¡ser – estar! Sabemos que no puede ser una función del espacio, porque eso violaría el principio de homogeneidad, pero hasta ahora nada le impide evolucionar en el tiempo.
Nuestro objetivo es descubrir qué es [matemática] a (t) [/ matemática], porque eso puede contarnos sobre la historia, y con suerte el futuro, de nuestro universo.
Agregaré en este punto que podemos seleccionar nuestras unidades de tal manera que, sin pérdida de generalidad [matemáticas] a (\ text {now}) = 1 [/ matemáticas] – ¡esto hace que nuestras matemáticas sean más agradables!
Me saltearé el siguiente paso, ¡porque es desagradable, feo y tomaría una o dos horas escribirlo!
La esencia de esto es la siguiente:
Tenemos dos ecuaciones que afirmamos que deben describir el espacio y el tiempo: la métrica FLRW y las ecuaciones de campo de Einstein . Por lo tanto, sustituimos la métrica FLRW en las ecuaciones de campo de Einstein, y vemos qué restricciones esto nos impone .
Esto implica calcular los símbolos de Christoffel, el Ricci Tensor, que es un desastre.
Por lo tanto, saltamos directamente a la conclusión, que son dos ecuaciones llamadas ecuaciones de Friedmann. El primero de los cuales viene dado por:
[matemáticas] \ left (\ frac {da} {dt} \ right) ^ 2 = a ^ 2 \ left (\ frac {8 \ pi G} {3} \ rho \ right) [/ math]
Donde [math] \ rho [/ math] describe la densidad de energía del universo (he elegido absorber en él la densidad de energía que surge de la curvatura y de la constante cosmológica – otras fuentes incluirán [math] k [/ math] y [math] \ Lambda [/ math] términos explícitamente)
Parece que debería ser muy fácil de resolver, hasta que recuerdes que [matemáticas] \ rho = \ rho (a) [/ matemáticas], es decir, ¡es una función del tamaño del universo!
Es tentador afirmar de inmediato que [matemática] \ rho \ propto a ^ {- 3} [/ matemática], pero este no es realmente el caso, esto solo es cierto para la densidad de la materia. Para la densidad de energía de radiación es [math] \ rho \ propto a ^ {- 4} [/ math].
La relación general es [matemática] \ rho \ propto a ^ {- 3 (1 + w)} [/ matemática] donde [matemática] w [/ matemática] es la ecuación de estado que relaciona la densidad con la presión.
Se da la ecuación de estados para algunos tipos comunes de masa / energía:
- Materia no relativista (fría), que no interactúa:
- [matemáticas] w = 0 [/ matemáticas]
- Radiación (o materia ultrarelativista)
- [matemáticas] w = \ frac {1} {3} [/ matemáticas]
- Energía oscura (posiblemente)
- [matemáticas] w = -1 [/ matemáticas]
Sin embargo, si observamos nuestro universo, sin duda le parece al observador casual observador que nuestro universo está dominado por la materia , la mayor parte de la gravedad en el universo parece provenir de cosas tangibles, no de ningún otro lado.
Por lo tanto, como primera suposición, podemos modelarnos a nosotros mismos como un “universo dominado por la materia”, donde [matemáticas] \ rho \ approx \ rho_ {M} [/ matemáticas]
Volvemos a mirar nuestras ecuaciones y vemos que [math] \ rho_M \ propto a ^ {- 3} [/ math]. Recordamos que [math] a (\ text {now}) = 1 [/ math], lo que significa que [math] \ rho_M (\ text {now}) = \ rho_ {M, 0} [/ math], el densidad de masa actual de nuestro universo.
Por lo tanto, tenemos:
[matemáticas] \ rho \ aprox \ rho_0 a ^ {- 3} [/ matemáticas]
Y:
[matemáticas] \ left (\ frac {da} {dt} \ right) ^ 2 = a ^ 2 \ left (\ frac {8 \ pi G} {3} \ rho \ right) [/ math]
Ahora es simplemente una cuestión de sustituirlos para obtener:
[matemáticas] \ left (\ frac {da} {dt} \ right) ^ 2 = \ frac {1} {a} \ times \ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3} [/ math]
Luego:
[matemáticas] \ frac {da} {dt} = \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}} [/ matemáticas]
Entonces es simple integrar esto para encontrar el tamaño en el momento [math] t [/ math]:
[matemáticas] \ int_0 ^ {a (t)} \ sqrt {a} da = \ int_0 ^ t \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}} dt [/ matemáticas]
(Los observadores con ojos de águila también notarán una suposición adicional que se ha agregado: que [matemáticas] a (0) = 0 [/ matemáticas], lo que significa que en algún momento en el pasado (que llamamos t = 0), el universo estaba en un estado infinitamente denso (o casi como no hace ninguna diferencia a esta aproximación). Entonces estamos encontrando [matemáticas] a [/ matemáticas] en un momento [matemáticas] t [/ matemáticas] después de que el universo existiera en este estado denso caliente – en otras palabras, [math] t [/ math] es el tiempo transcurrido desde el Big Bang (¿en qué momento, pensé que el tiempo era relativo? Buena pregunta: el tiempo medido en el marco comoving describió el FLRW))
Luego calculamos esta integral polinómica simple para obtener:
[matemáticas] \ frac {2} {3} a (t) ^ \ frac {3} {2} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}} t [/ matemáticas]
Reorganizamos esto para obtener:
[matemáticas] a (t) = \ left (\ frac {3} {2} \ times \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}} t \ right) ^ \ frac {2} {3 }[/matemáticas]
Excepto, por supuesto, como hemos usado antes, [math] a (\ text {now}) = 1 [/ math].
Por lo tanto, si establecemos [math] t = t_ {now} [/ math], para garantizar que [math] a (\ text {now}) = 1 [/ math], requerimos:
[matemáticas] t_ {ahora} = \ frac {2} {3 \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}}} [/ matemáticas]
¡De simple manipulación algebraica!
En realidad, descubrir el valor de [math] \ rho_0 [/ math] es un asunto complicado, pero no podemos evitar el problema por nada que la expresión para el parámetro Hubble sea:
[matemáticas] H (t) ^ 2 = \ frac {\ dot {a} ^ 2} {a ^ 2} = \ left (\ frac {8 \ pi G} {3} \ rho \ right) [/ math]
Y por lo tanto:
[math] H (\ text {now}) = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}} [/ math] – ¡y podemos medir fácilmente el parámetro actual de Hubble!
[matemáticas] t_ {ahora} = \ frac {2} {3 H_0} [/ matemáticas]
La estimación actual del parámetro Hubble es 70 km / s / MPc (MPc es Mega parsec ), lo que resulta ser [matemática] H_0 \ aprox 2 \ veces 10 ^ {- 18} s ^ {- 1} [/ matemática ]
Por lo tanto:
[matemáticas] t_ {ahora} \ aprox \ frac {1} {3 \ veces 10 ^ {- 18} \ text {s} ^ {- 1}} \ aprox 3.3 \ veces 10 ^ {17} [/ matemáticas] s
Esto a su vez sale como [math] t_ {now} \ aproximadamente 10.56 [/ math] billones de años.
¡Así que ahí vamos! ¡Estimamos que la edad de nuestro universo tiene aproximadamente 10 mil millones de años!
Por supuesto … eso no es 13.8 o 13.72 o lo que sea la estimación actual.
Entonces, ¿por qué nuestra estimación difiere?
La respuesta es bastante simple: calculamos que solo la masa tenía algún efecto en nuestro universo, estábamos en un “universo dominado por la materia”, para facilitar las matemáticas.
Excepto, ya sabes, ¡la luz definitivamente existe! Por lo tanto, nos equivocamos al excluirlo por completo de nuestras ecuaciones … También hay otras cosas a tener en cuenta, sin duda ha oído hablar de la energía oscura , esa es una de las otras cosas que necesitamos (la materia oscura ya se tiene en cuenta en el asunto plazo, sin embargo).
El resultado es que si tiene un universo que contiene una mezcla de materia fría ([matemática] w = 0 [/ matemática]), radiación y materia caliente ([matemática] w = \ frac {1} {3} [/ matemática ]), así como una constante cosmológica [matemáticas] (\ Lambda \ neq 0 [/ matemáticas]), y así sucesivamente, las ecuaciones se vuelven horribles y no lineales.
No hay una manera “agradable” de hacerlo como lo hice allí para el simple universo de la materia. Debe conectarlos a una computadora y dejar que eso haga el trabajo por usted.
En realidad, ¡hice exactamente eso hace unos meses!
Me pidieron que encontrara la ecuación implícita para un universo que era espacialmente plano ([matemática] k = 0 [/ matemática]) y no tenía constante cosmológica ([matemática] \ Lambda = 0 [/ matemática]), pero que tenía un mezcla de radiación y materia en ella. En este ejemplo, la relación de materia a radiación fue controlada por la “relación de infierno” (¡mi profesor tenía un don para lo dramático!), [Matemáticas] I_n = \ frac {\ rho _ {\ gamma, 0}} { \ rho_ {M, 0}} [/ matemáticas]
El resultado de se representa a continuación:
Como puede ver, diferentes proporciones de materia y radiación producen universos de diferentes tamaños en diferentes momentos, por lo tanto, para saber cuántos años tenía su universo en este caso, no solo necesitaría saber [matemáticas] H_0 [/ matemáticas], sino ¡también necesitarías saber [matemáticas] I_n [/ matemáticas]!
Nuestro universo es aún más complejo: (posiblemente) tenemos términos [matemática] k [/ matemática] y [matemática] \ Lambda [/ matemática] que hacen que todo sea aún más asqueroso y horrible, y agregamos aún más parámetros que necesitamos saber acerca de.
Sin embargo, los científicos son inteligentes, y han encontrado docenas de formas independientes de reducir los parámetros de nuestro universo, y luego han puesto todos estos resultados en una versión más grande e inteligente de lo que hicimos allí, y al final El resultado es de alrededor de 13.7 o 13.8 mil millones de años.
Pero nuestra aproximación de primer orden de 10 mil millones de años ciertamente no fue mala, ¡y las matemáticas detrás de esto son mucho más fáciles de manejar!