¿Algo así como?
Así como una coordenada en el espacio-tiempo se escribe como un Cuatro-vector (la “posición de cuatro”) [matemáticas] x ^ \ mu = (ct, x, y, z) [/ matemáticas], que se transforma / se mezcla en de manera específica cuando cambia los marcos de referencia, lo mismo ocurre con el impulso de cuatro [matemática] p ^ \ mu = (E / c, p_x, p_y, p_z) [/ matemática]. En ese sentido, la energía es el “componente de tiempo” del impulso, pero esa es una descripción muy ondulada.
Si consideramos una partícula con masa (por simplicidad), [math] E = \ gamma mc ^ 2 [/ math] y [math] \ vec p = \ gamma m \ vec v [/ math] (donde [math] \ gamma [/ math] es, como de costumbre, el factor de Lorentz), y entonces tenemos
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[matemáticas] \ begin {align *}
p ^ \ mu & = \ gamma m (c, v_x, v_y, v_z) \\
& = \ gamma m \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (ct, x, y, z) \\
& = \ gamma m \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} x ^ \ mu \\
& = m \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau} x ^ \ mu
\ end {align *} [/ math]
donde [math] \ tau [/ math] es el tiempo adecuado.
Entonces, se podría decir que el impulso es proporcional a la velocidad con la que algo se mueve a través del espacio , y la energía es proporcional a la velocidad con la que algo se mueve a través del tiempo (coordinado) , donde “qué tan rápido” se mide en términos de tiempo adecuado.
Tratando de relacionar esto con alguna forma de flujo, la clave a tener en cuenta es la ecuación de continuidad.
Digamos que tiene algo de densidad [matemática] \ rho [/ matemática]. Esto puede ser la densidad de cualquier cosa : densidad de energía, densidad de carga, densidad de masa, densidad de jerbos, lo que sea. Para combinar la concreción con la generalidad, digamos que estamos hablando de una cantidad física específica llamada “spoo”, es decir, [math] \ rho [/ math] es la “densidad de spoo”, que es una función del tiempo y la posición. Entonces podemos definir la “corriente de spoo”, [math] \ vec j = \ rho \ vec v [/ math], donde [math] \ vec v [/ math] es la velocidad a la que se mueve el spoo (que es también, por supuesto, una función de espacio y tiempo). En el contexto de la ecuación de continuidad, [math] \ vec j [/ math] también puede denominarse “ densidad de flujo de spoo”.
Dadas estas definiciones, entonces tenemos
[matemáticas] \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ vec \ nabla \ cdot \ vec j = \ sigma [/ math]
donde [math] \ sigma [/ math], también una función del espacio y el tiempo, es la “densidad de producción de spoo”, es decir, la cantidad de spoo que se produce en una coordenada dada por unidad de volumen por unidad de tiempo. (Tenga en cuenta que, para cantidades conservadas localmente, [math] \ sigma = 0 [/ math] en todas partes y siempre).
Ahora, veamos un “spoo” muy específico e importante, a saber, la energía . La energía, conservada, satisface
[matemáticas] \ frac {\ partial \ rho_E} {\ partial t} + \ vec \ nabla \ cdot \ vec j_E = 0 [/ math]
(donde presenté el subíndice [matemáticas] E [/ matemáticas] para hacer explícito que estoy hablando de energía).
Si se trata de términos de cuatro vectores, el lado izquierdo de la ecuación anterior tiene una forma muy especial: se llama una divergencia de cuatro y está escrito
[matemáticas] \ parcial_ \ mu j_E ^ \ mu = 0 [/ matemáticas]
(con el resumen implícito de Einstein habitual) donde
[matemáticas] \ partial_ \ mu = \ left (\ frac {1} {c} \ frac {\ partial} {\ partial t}, \ vec \ nabla \ right) = \ left (\ frac {1} {c} \ frac {\ partial} {\ partial t}, \ frac {\ partial} {\ partial x}, \ frac {\ partial} {\ partial y}, \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right) [/matemáticas]
y
[matemáticas] j_E ^ \ mu = (\ rho_E c, \ vec j_E) = (\ rho_E c, \ rho_E \ vec v) = \ rho_E (c, v_x, v_y, v_z) [/ math].
Esto significa, entre otras cosas, que [math] j_E ^ \ mu [/ math] es un cuatro-vector válido y, por lo tanto, podemos hacer declaraciones significativas al respecto en el contexto de la relatividad.
Pero, ¿cuál es nuestra “densidad de flujo de energía”, [matemáticas] \ vec j_E [/ matemáticas]? Para una pista, veamos la contribución de partículas masivas.
Para partículas masivas, [math] E = \ gamma mc ^ 2 [/ math], y así [math] \ rho_E = \ gamma \ rho_m c ^ 2 [/ math]. Mientras tanto, la densidad de momento es [math] \ vec \ rho_p = \ gamma \ rho_m \ vec v [/ math]. Entonces, obtenemos
[matemáticas] \ begin {align *}
\ vec j_E & = \ rho_E \ vec v \\
& = \ gamma \ rho_m c ^ 2 \ vec v \\
& = \ vec \ rho_p c ^ 2.
\ end {align *} [/ math]
Entonces, la densidad de flujo de energía (es decir, la energía que pasa a través de una superficie por unidad de área perpendicular por unidad de tiempo) es la densidad de momento multiplicada por [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas]. (Tenga en cuenta que un argumento similar funciona para partículas sin masa, para las cuales [math] E = pc [/ math]).
Esto no es exactamente lo que estaba diciendo en su pregunta (específicamente, no está claro qué debería significar “flujo a través del espacio-tiempo” en este contexto), pero con suerte esto ayudará a dar una mejor idea de lo que está sucediendo. .
