Voy a hacer una derivación para la energía de unión gravitacional de una esfera a partir de las leyes de fuerza básicas; Puede encontrar más detalles en Energía de unión gravitacional – Wikipedia.
Los planetas generalmente no son esferas perfectas y definitivamente no tienen una densidad uniforme, pero hagamos esas suposiciones por simplicidad.
De la Ley de gravitación de Newton,
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[matemáticas] F (r) = \ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}} [/ matemáticas]
donde [math] m_ {1} [/ math] es la masa del objeto, [math] m_ {2} [/ math] es la masa del cuerpo, G es la constante gravitacional yr es la distancia entre centros de los dos objetos.
Encontramos la energía requerida para eliminar un objeto mediante la integración a lo largo del radio desde la altura actual hasta el infinito:
[matemáticas] E (r) = \ int_ {r} ^ {\ infty} \ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}} dr [/ matemáticas]
[matemáticas] E (r) = 0 – – \ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r} = \ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r} [/ matemáticas]
Ahora eliminemos gradualmente los depósitos esféricos de la Tierra; cada unidad infinitesimalmente pequeña tendrá masa [matemática] 4 \ pi r ^ {2} \ frac {M} {\ frac {4} {3} \ pi R ^ {3}} dr [/ matemática].
Entonces, la energía para quitar un caparazón es
[matemáticas] E_ {shell} = \ frac {(4 \ pi r ^ {2} \ frac {M} {\ frac {4} {3} \ pi R ^ {3}}) (\ frac {4} { 3} \ pi r ^ {3}) (\ frac {M} {\ frac {4} {3} \ pi R ^ {3}})} {r} = \ frac {3M ^ {2} r ^ { 4}} {R ^ {6}} [/ matemáticas]
La energía total es la integral de eliminar todos los depósitos:
[matemáticas] E_ {total} = \ int_ {0} ^ {R} E_ {shell} dr = \ frac {3M ^ {2}} {5R ^ {6}} (R ^ {5}) = \ frac { 3} {5} \ frac {GM ^ {2}} {R} [/ math]
Ahí lo tenemos! Para la Tierra, [matemáticas] M = 5.97 \ veces 10 ^ {24} [/ matemáticas] kg, y [matemáticas] R = 6.371 \ veces 10 ^ {6} [/ matemáticas] m. La respuesta estará en julios.
