La respuesta depende mucho de la escala de destrucción y de la cantidad de energía que se imparte a los fragmentos de la luna, porque eso determinará qué sucede después y qué tan rápido ocurre. Asumiré que este es un evento que hace que la luna se desmorone, pero no desintegra mucha masa. Me imagino que, como en las imágenes que muestra, donde solía estar la luna, ahora habrá esencialmente un conglomerado masivo de asteroides en lugar de un solo cuerpo sólido.
En primer lugar, una cosa que sabremos es que la luna no se caerá del cielo: toda la masa de la luna todavía está en órbita y, en general, continuará como siempre. Y, de hecho, podemos hacer una declaración aún más fuerte: el centro de masa de todas las partes de la luna permanecerá donde siempre ha estado, al menos en las fases iniciales.
Sin embargo, algunas piezas se moverán mucho más rápido que la luna, tal vez lo suficientemente rápido como para escapar por completo de la órbita de la Tierra. Algunas piezas se moverán mucho más lentamente, tal vez lo suficientemente lento como para desorbitar y entrar en la atmósfera de la Tierra. Y, todas las piezas entrarán en órbitas ligeramente diferentes entre sí, lo que significa que comenzarán a actuar como objetos independientes, y veremos que comienzan a ocurrir colisiones. Cada vez que ocurre una colisión, hay una buena posibilidad de que haya una destrucción adicional, con grandes pedazos de luna que se descomponen en pedazos cada vez más pequeños.
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A muy largo plazo (muchos miles de años), sería razonable esperar que esto tenderá a producir un sistema de anillos alrededor de la Tierra, al igual que Saturno.
En el corto plazo (de años a cientos de años, dependiendo de las condiciones iniciales), esto se parecerá mucho al Síndrome de Kessler, donde se desencadena una reacción en cadena de colisiones. Cuantos más escombros haya, más colisiones habrá y más rápida será la destrucción en cascada. Eventualmente, hay un campo tan denso de escombros orbitando la Tierra que se vuelve extremadamente peligroso o imposible de navegar.
Las mareas cambiarían pero no desaparecerían. De hecho, se volverían más simples, menos dramáticos y más fáciles de predecir, porque la gravedad del sol es un importante contribuyente a la acción de las mareas y, por lo tanto, dominaría una vez que la masa de la luna se volviera menos concentrada.
Después de que se desencadena el Síndrome de Kessler, es probable que se desorbita tanto material lunar que será como una lluvia constante de meteoritos de todos los tamaños, de modo que causen explosiones destructivas masivas en toda la superficie de la Tierra. Será un evento de extinción al menos tan malo, y probablemente mucho peor, que el evento que mató a los dinosaurios.
Gran parte de mi respuesta está inspirada en la novela SEVENEVES de Neal Stephenson, que es probablemente el tratamiento más preciso de este escenario ficticio. Sin embargo, la lógica es sólida desde una perspectiva física fundamental, así que creo que este es el resultado más probable.