¿Por qué Einstein usó la velocidad de la luz al cuadrado en la famosa ecuación [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas]?

Además de otras respuestas, tenga en cuenta que, si bien c es una propiedad de la luz en la relatividad, también es igual o más que una propiedad de todo lo demás, a través del factor de Lorentz que gobierna muchos efectos relativistas nuevos. De hecho, Einstein no cambió nada sobre la luz para darle su nueva propiedad de tener la misma velocidad en cada cuadro de medición. De hecho, se hizo cargo de las cerraduras, el stock y el barril de las ecuaciones de Maxwell. Más bien, le dio una serie coordinada de nuevas propiedades a todo lo que podría utilizar para construir un marco de medición para medir la velocidad de la luz, especialmente la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y el aumento de la masa relativista (o si lo prefiere, dependencia modificada del momento y la cinética). energía en velocidad). Entonces, c también está en el ADN de las cosas materiales, y [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas] (en cualquiera de las dos formas diferentes en que lo interpretas) es solo un caso especial de la relación relativista entre masa, momento y energía .

[1] Por un lado, da las unidades correctas de energía, Mc ^ 2 es dimensionalmente correcto. Si uno multiplica M x c, el resultado es el impulso (la masa por la velocidad es el impulso). Entonces, ¿por qué descansaría la energía con el mismo impulso Mc multiplicado por la velocidad de la luz c ?

Es fácil ver que para un cuerpo de masa M que se mueve a velocidad v , el momento es mv y es fácil entender que un cuerpo que se mueve a velocidad v tiene energía cinética (Mv ^ 2) / 2 . Pero, ¿por qué la masa de un cuerpo “en reposo” puede expresarse en términos de movimiento? ¿Qué es lo que se está moviendo? Podríamos adivinar que la masa en reposo resulta del movimiento de todos los electrones en la materia, pero eso sería incorrecto. Einstein escribió varios documentos tratando de encontrar una prueba general de Mc ^ 2 que no involucrara luz y / o radiación, pero que no tuvo éxito (Ver nota al pie).

Aquí hay uno que evoqué hace algunos años basado en la declaración de Richard Feynman de que no cuesta nada crear una masa en el centro del universo (que está en cualquier lugar): razonando las contraseñas, la pregunta es: ¿Cuánta energía se necesita para transportar un ¿Masa desde el borde de la esfera de Hubble hasta su centro todo el tiempo moviéndose contra el flujo recesivo del espacio? Para un universo de aceleración exponencial, la tasa de expansión es (c ^ 2) / R. Por lo tanto, la fuerza es M [(c ^ 2) / R} y la distancia es la integral de dx de R a 0 . Entonces, dado que la energía es igual a la fuerza por la distancia, la energía total para mover un cuerpo de masa M desde el borde del Hubble a su centro es ( -Mc ^ 2) .

Y, por supuesto, cuando M está en su lugar, hay un campo ‘ g ‘ de energía negativa que lo acompaña, por lo que el campo g representa la energía negativa requerida para colocar una masa positiva en el centro de Hubble, ergo, la energía cósmica neta permanece sin cambios por Feynman .

Notas al pie

[1] ¿Fue Einstein el primero en inventar E = mc 2?

Cuando estudias física relativista, la ecuación dice simplemente [matemáticas] E = m [/ matemáticas]. Las razones son en gran parte históricas.

El concepto de masa se ha equiparado históricamente con la inercia y se considera la cantidad de materia en un objeto. Su medida métrica del kilogramo se definió por primera vez en 1795. El concepto de energía había existido desde la antigüedad, pero no asumió su uso más moderno hasta mediados del siglo XIX. En este punto de la historia, los dos conceptos no están relacionados y tienen, de manera bastante apropiada, unidades de medida separadas.

Luego, por supuesto, aprenderíamos que no existe la masa, en sí misma, simplemente la suma de todas las energías internas de un objeto, tal como se define en su marco de descanso. Se necesitaría otro siglo de física para determinar exactamente cuáles son esas energías, pero aún existe el problema de expresar masa y energía en las mismas unidades. [2]

La presencia del cuadrado en [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas] es un factor de conversión entre las unidades de la convención. Esto no debería ser demasiado sorprendente para tener una velocidad cuadrada que ya conoce [matemática] KE = 1 / 2mv ^ 2 [/ matemática].

Como una forma de pensarlo, puede considerar [math] E = mc ^ 2 [/ math] como la energía cinética de un objeto masivo en la dirección del tiempo y [math] p = mc [/ math] como su momento a lo largo de su tiempo (su línea mundial o como se ve externamente en su marco de momento cero). En el uso contemporáneo, la velocidad de la luz se establece igual a la unidad y la ecuación aparece como [matemáticas] E = m [/ matemáticas].

Finalmente, sería negligente si no dejara en claro que [math] c ^ 2 [/ math] no se coloca allí solo para equilibrar unidades, sino que es requerido por la física. [3]

Notas:
[1] Esta definición de masa aparece en los Principia de Newton, 1686.

[2] 1% del mecanismo de Higgs; El 99% proviene de energía relacionada con la estructura nuclear, y una cantidad increíblemente pequeña proviene de otras fuentes, como la energía térmica interna.

[3] En la relatividad hay un intervalo invariable a partir del cual se puede construir la velocidad 4. La masa invariante de un objeto escala la velocidad de 4 para dar el impulso de 4, cuya magnitud (pseudo-norma) es [matemática] mc ^ 2 [/ matemática].

“¿Por qué el factor de conversión es c²?” Esto será un poco más técnico que la mayoría de mis publicaciones, pero debería tener sentido para cualquiera que haya tenido física en la escuela secundaria.

Hay dos partes en la pregunta. Primero, ¿por qué el factor es algo cuadrado? Segundo, ¿por qué es eso algo c, la velocidad de la luz?
La respuesta a la primera pregunta es que el factor tiene que ser un poco de velocidad al cuadrado para obtener las unidades correctas. La mayoría de las personas no valoran las unidades lo suficiente. A menudo puede resolver un problema simplemente conociendo las unidades involucradas, y ciertamente puede decir si algo está torcido si las unidades no están bien. Por ejemplo, si le preguntas a alguien, “¿cuál es el área de tu sala de estar?” y responden, “Treinta pies”, ya saben que no escucharon la pregunta porque un área tiene que estar en pies cuadrados.
Las unidades de energía son masa · velocidad², por ejemplo, kg · m² / s². La energía cinética de una masa m en movimiento y velocidad v es ½ m v².

Entonces, cualquier fórmula que escriba energía en términos de masa tiene que involucrar algo con unidades de velocidad al cuadrado.

¿Pero por qué la velocidad de la luz? Bueno, la teoría de la relatividad se basa en la idea de que todos los observadores, sin importar cuán rápido se muevan en relación con usted, deben observar las mismas leyes físicas. Y solo hay una velocidad especial que todos miden para ser la misma: la velocidad de la luz. De hecho, puede demostrar que la teoría no funciona si intenta agregar una segunda velocidad especial. Una forma corta de decirlo es que en la relatividad solo hay una constante con la que trabajar, la velocidad de la luz.

Ahora podría derivar la fórmula para usted, o mostrarle que le da la energía cinética correcta en el límite de baja velocidad, ¡pero una respuesta simple es que no hay otra velocidad que pueda ser!

En resumen, el factor tiene que ser una velocidad al cuadrado para obtener las unidades correctas, y la única velocidad que podría ser es la velocidad de la luz.

Supongo que acepta que la energía en reposo de cualquier partícula es K constante por su masa, es decir

descanso E = Km

Entonces solo tenemos que descubrir qué es K. Además, su energía cinética (a velocidades mucho más pequeñas que la velocidad de la luz) es de ½ m v2. Ahora la energía total de una partícula es su energía en reposo más su energía cinética. La teoría de la relatividad dice que tiene que ser proporcional al factor llamado gamma, γ = 1 / √ (1-v² / c²), que es el mismo factor que explica la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo. La energía total es así

E total = γ K m.

Cuando v = 0, la partícula está en reposo y γ = 1. En ese caso, la energía total es igual a la energía en reposo (cuando algo está en reposo, no tiene energía cinética). Ahora, cuando la velocidad v es mucho menor que la velocidad de la luz (que siempre es cierta en la vida cotidiana), entonces v² / c² es mucho menor que 1. En ese límite podemos usar la fórmula 1 / √ (1-e) ≈1 + e / 2 (esto proviene de una expedición de la serie Taylor), para cualquier cantidad e que sea mucho menor que 1. Entonces, para v pequeño, γ≈1 + ½ v² / c².

Si conectamos esto a la energía total, obtenemos,

total E = γ K m≈ (1 + ½ v² / c²) K m = Km + (K / c²) ½ m v².

Entonces, para obtener la energía cinética correcta, K necesita ser c². Como comprobación, conectemos K = c²:

Energía en reposo = K m = m c²,

Energía total = γ K m = γ m c² ≈ (1 + ½ v² / c²) m c² = mc² + ½ m v².

¡Creo que esto te ayudará a entender! 🙂

Originalmente respondido: ¿Por qué Einstein usó la velocidad de la luz en la famosa ecuación E = mc2?

La ecuación en realidad no es E = mc2, sino más bien [matemática] E [/ matemática] [matemática] = mc ^ 2 [/ matemática]. Esto puede ser confuso porque en línea se escribe como E = mc2.

La ecuación significa que la cantidad máxima de energía que un objeto puede liberar es igual a su masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado. Esto proviene de la ecuación newtoniana para la energía cinética que es [matemáticas] K = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas]. Esta ecuación funciona a las velocidades más bajas que experimentamos en nuestro mundo, pero se descompone con velocidades comparables a la velocidad de la luz. Al acercarse a la velocidad de la luz, la masa aumenta de forma relativista y esta ecuación no funciona correctamente debido a esto. Una manera simple pero no del todo precisa de pensar en esto es que, a medida que aumenta la velocidad, también lo hace la energía cinética, y debido a que la velocidad de la luz es la velocidad más rápida posible, un objeto tendría la mayor energía cinética al viajar hacia ella.

La fórmula de Einstein para la masa relativista es [math] m = \ frac {m_0} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ math]. Cuando la velocidad es baja, el aumento de masa relativista se puede aproximar con bastante precisión como [math] mc ^ 2 [/ math]. Agregar esto a la ecuación de energía cinética y reorganizarla nos da [math] e – mc ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ math]. De esto podemos decir que la energía cinética newtoniana = [matemáticas] E – mc ^ 2 [/ matemáticas] cuando se viaja a bajas velocidades. Debido a que son aproximadamente iguales, se puede usar como energía cinética relativista a bajas velocidades.

Ahora sabemos que la energía cinética relativista = [matemáticas] E – mc ^ 2 [/ matemáticas]. Si la velocidad del objeto es 0, entonces la energía cinética relativista también lo será y la ecuación se puede simplificar a la famosa [matemática] E = mc ^ 2 [/ matemática]. La forma completa de esta ecuación es en realidad [matemática] E = \ frac {mc ^ 2} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {{c ^ 2}}}} [/ matemática]. Debido a que todas las formas de energía son equivalentes, esto no solo se aplica solo a la energía cinética, sino a todas las formas. Esta es solo una prueba de la ecuación.

La respuesta muy corta, para convertir unidades de masa en unidades de energía, requiere multiplicar por una constante con unidades de metros cuadrados divididos por tiempo cuadrado. En otras palabras, una velocidad al cuadrado. Por supuesto, la constante que probarías primero que es una velocidad es la velocidad de la luz.

Pero eso es solo un análisis unitario. No prueba que no se pueda decir la mitad de la velocidad de la luz, o alguna otra constante. Para hacer eso necesitas examinar las matemáticas.

Para esto recurrí a google. Lo primero que encontré fue simplemente asumir la respuesta y luego convertirla a otra forma … Yuck. El segundo que encontré parece más completo. No lo he revisado cuidadosamente, pero después de una inspección rápida parece correcto:

https://arxiv.org/pdf/physics/03 …

La famosa fórmula [matemáticas] E = mc ^ {2} [/ matemáticas] es una consecuencia de la teoría especial de la relatividad de Einstein. Se deriva por dos consideraciones. Primero es un cálculo de la energía cinética como el trabajo realizado por una fuerza neta distinta de cero, ya que lleva un objeto de masa [matemática] m [/ matemática] a una velocidad [matemática] v [/ matemática]. La fuerza neta, [math] \ overrightarrow {F}, [/ math]

actuar sobre una partícula se puede expresar como la tasa de cambio de tiempo del momento de la partícula, [matemática] \ overrightarrow {p}, [/ matemática]

[matemáticas] \ overrightarrow {F} = \ frac {d \ overrightarrow {p}} {dt}, [/ math]

donde la expresión relativista para el momento de una partícula de masa en reposo [matemática] m [/ matemática] es

[matemática] \ overrightarrow {p} = \ frac {m \ overrightarrow {v}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}. [/ math] Ec. (1)

El cálculo da una fórmula para la energía cinética, [matemáticas] KE [/ matemáticas]:

[matemáticas] KE = \ int_i ^ f \ frac {d \ vec p} {dt} \ cdot d \ vec r = \ int_i ^ f \ vec v \ cdot d \ vec p [/ math].

Usando la ecuación (1), y ahorrando al lector los detalles matemáticos, da

[matemática] KE = mc ^ {2} \ left (\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}} – 1 \ right). [/ math]

Multiplicar el lado derecho da:

[matemáticas] KE = \ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}} – mc ^ {2}. [/ matemáticas]

El primer término en el lado derecho es el componente de tiempo del impulso de cuatro multiplicado por [matemáticas] c [/ matemáticas], y tiene una interpretación como la energía total de la partícula. La expresión [math] mc ^ {2} [/ math] en el segundo término es la energía en reposo de la partícula. La última interpretación se ve reforzada por argumentos heurísticos de que la masa en reposo de un cuerpo que absorbe una cantidad de energía [matemática] E [/ matemática] aumenta su masa en reposo en una cantidad [matemática] E / c ^ {2}. [/ Matemática ]

El argumento generalmente se hace para la absorción de energía electromagnética, pero la capacidad de convertir una forma de energía en otra sugiere que cualquier tipo de aumento de energía interna produce un aumento en la masa en reposo. La siguiente parte del argumento implica una suposición de Einstein, que la masa en reposo de una partícula está asociada con una cantidad de energía equivalente [math] mc ^ {2}. [/ Math]

La intuición de Einstein sobre esto nació años más tarde cuando se produjeron pares de partículas anti-partículas a partir de la energía cinética de las partículas que colisionan en los aceleradores de partículas y también, mediante la creación de pares de partículas por fotones de rayos gamma que pasan cerca del núcleo de un átomo. (El núcleo atómico es necesario para satisfacer las leyes de conservación. Un fotón solo no puede crear espontáneamente un par de partículas).

No soy físico ni matemático, pero he leído mucho sobre ambos temas y una de las cosas más interesantes que he leído es que E = mc2 no es la única forma de expresar la equivalencia de masa y energía.

Algunos expertos dicen que E = m es igualmente correcto: SI usa el sistema correcto de unidades.

Como han notado varios otros respondedores, E = mc2 se deriva de ecuaciones newtonianas basadas en unidades de masa y energía definidas clásicamente. La parte c-cuadrada simplemente cambia la masa a la “misma hoja de música” que se usa para la energía.

Si recuerdo correctamente, E = m si usas unidades de Planck en todo momento. No soy competente en las unidades de Planck [puede etiquetar esto como “eufemismo”], pero hay otra observación más frecuente que probablemente también establezca el caso. A saber:

“Un electrón voltio” se usa indistintamente por los físicos de partículas tanto para la masa en reposo como para la energía del estado fundamental de un electrón. Uno no puede obtener mucho más E = m que eso.

[Si me he equivocado, agradeceré la corrección. Si mi memoria es correcta, pero mi explicación es insuficiente, agradeceré la elaboración.]

1. Las unidades de una expresión física tienen que ser consistentes. En realidad, hubo algunos científicos antes de Einstein que plantearon la hipótesis de esta expresión solo en función de las unidades.
2. Einstein derivó formalmente la ecuación de seis maneras independientes comenzando con diferentes hipótesis físicas. Elige cualquiera.

En primer lugar, Einstein resolvió y proporcionó pruebas de una ecuación que contenía cantidades ya existentes.

Dentro de la ecuación, masa y energía son cantidades equivalentes, y C es el límite para la velocidad de las partículas sin masa.

Sucede que, a partir de ahora, los fotones son las únicas partículas conocidas capaces de viajar a esta velocidad, de ahí la relación de C con la velocidad de la luz: 299 792 458 m / s.

Espero que esto ayude.

Usted es consciente de que la famosa ecuación E = mc² simplemente significa “La energía es igual a la masa por la velocidad de la luz al cuadrado”. En otras palabras, la ecuación establece que la energía y la masa son formas diferentes de la misma cosa, y que son intercambiables. La energía puede convertirse en masa, y la masa puede convertirse en energía bajo ciertas condiciones.

Siempre que la masa se convierte en energía, la energía resultante se mueve a la velocidad de la luz. La energía pura es radiación electromagnética que viaja a una velocidad constante de 299,792,458 m / s.

Uno de los factores que rigen la cantidad de energía (cinética) contenida en cualquier objeto en movimiento es que la energía aumenta al cuadrado de su velocidad. La energía cinética es igual a la masa del objeto en movimiento multiplicado por el cuadrado de la velocidad de ese objeto. Un objeto que se mueve al doble de la velocidad de otro objeto no adquiere el doble de energía sino cuatro veces. Por lo tanto, la velocidad de la luz se usa realmente como factor de conversión para saber cuánta energía hay dentro de una determinada masa.

Lectura adicional: E = mc2 explicado

No usó eso porque lo eligió de esa manera. La ecuación fue derivada matemáticamente por él de muchos pasos anteriores, y resultó ser solo eso … (PD Curiosamente, aunque una forma empírica de pensar es que la energía máxima derivable de cualquier masa sería equivalente a esa masa convertida en energía de luz completamente donde la luz viaja a la velocidad c, recuerda mucho a la ecuación de la energía cinética de una masa en movimiento donde es 1 / 2mv ^ 2, donde v ^ 2 se convierte en c ^ 2, y el 1/2 desaparece dando una impresión de equivalencia de energía total de cualquier masa!). Kaiser T, MD.

E = MC ^ 2 es anterior a Einstein. La creencia convencional de que Einstein inventó esta ecuación es probablemente el mayor mito de la ciencia.

La ecuación se deriva directamente y se incluye en la ecuación de Henri Poincaré para el momento de la radiación: M = S / C ^ 2 (Momento de radiación = Flujo de radiación / C ^ 2) y es el origen de E = mc ^ 2.

En cuanto a por qué Poincaré al cuadrado c. Propuso que un aparato de 1 kg que emite 3 × 10 ^ 6 julios en c, en cumplimiento de la conservación del momento, da como resultado una velocidad de retroceso de 1 cm / seg, o v = 1. Debido a que la radiación emite en c, la conservación de la inercia solo puede ocurrir cuando la velocidad de emisión de radiación es cuadrada.

Dos respuestas:

Primero, análisis dimensional simple. ¿Recuerda que la energía cinética en la física newtoniana es [matemática] \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemática]? Las unidades de energía (cinética) son masa por longitud al cuadrado dividido por tiempo al cuadrado [matemática] \ frac {ML ^ 2} {T ^ 2} [/ matemática]. Cualquier expresión que represente una energía tiene que coincidir con esto. [math] mc ^ 2 [/ math] funciona ya que [math] c [/ math] es una velocidad.

Pero para ser más precisos, esa no es realmente la ecuación de Einstein. La ecuación completa de Einstein es:

[matemáticas] E ^ 2 = m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2 [/ matemáticas]

Solo cuando el momento ([matemática] p [/ matemática]) es cero, se simplifica a [matemática] E = mc ^ 2 [/ matemática].

Se desprende de los postulados de Einsteins y las ecuaciones de Maxwell … pero es, históricamente, más una afirmación que parecía razonable en ese momento y que ha surgido fuertemente por el experimento.

Aquí hay un recorrido rápido manual:

Si comienzas desde la cuantización de la luz, entonces la luz está hecha de fotones que viajan en c, y llevan el impulso con ellos p = hf / c

La energía de un fotón es E = hf = pc

Si decide asignar una masa ficticia m al fotón, p = mc, entonces la energía de un fotón es mc ^ 2 … la masa m debe ser la masa extra debido al movimiento ya que los fotones se desvanecen cuando intenta detenerlos.

Pero las partículas materiales tienen masa en reposo … si observa cómo se comportan las masas cuando emiten radiación, puede mostrar que el cambio en la energía representada por el fotón emitido corresponde a un cambio en la energía total de la masa emisora ​​en la misma cantidad. La masa perdida por el objeto emisor es m, entonces el fotón liberado tiene una frecuencia dada por hf = mc ^ 2 … conduce a la energía de masa en reposo E = mc ^ 2.

Este no es un razonamiento muy sólido, pero puede ayudarlo a ver la motivación. Agregue a esto que, en lo que respecta al universo, c = 1 …

Para una mirada más completa, los documentos de Einstein no son tan malos, un poco secos … quieres “¿La inercia de un cuerpo depende de su contenido energético?”.

Los Annus Mirabilis de Albert Einstein

E = mc2 no significa que la velocidad de la luz se duplique, significa que al cuadrado significa C x C, NO C + C. Entonces la ecuación en forma larga es:

E (energía) = M (masa) x (C x C)

Para que la respuesta salga en unidades de energía (por ejemplo, julios).

Porque si se usara c para otra potencia, esta ecuación es tan famosa, y a pesar de que es un caso muy limitado entre las ecuaciones de relatividad. Es la energía de una partícula detenida, si la partícula se mueve

[matemáticas] {\ displaystyle E ^ {2} – (pc) ^ {2} = (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2}} [/ matemáticas]

y si el objeto se mueve a tres velocidades u = ( u

X

tu

y

tu

z

) con magnitud | u | = u en el marco del laboratorio:

[matemáticas] {\ displaystyle E = \ gamma (\ mathbf {u}) m_ {0} c ^ {2}} [/ matemáticas]

es la energía total del objeto en movimiento en el marco del laboratorio,

[matemáticas] {\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma (\ mathbf {u}) m_ {0} \ mathbf {u}} [/ math]

es el impulso del objeto en el marco del laboratorio con magnitud | p | = p , y:

[matemáticas] {\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {u}) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 – {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2 }}}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {u} {c}} \ right) ^ {2}}}}} [/ math]

Cuando Thomas Edison estaba inventando la bombilla, fabricó más de 1000 filamentos. Después de mucho esfuerzo, finalmente aterrizó en su aleación de tungsteno. Ahora, ¿por qué no usó uno de los otros 1000 filamentos? Porque no funcionaron.

La energía y la masa son equivalentes solo en la relación de luz al cuadrado. Ningún otro valor funciona; y más pequeño o más grande cambiaría el balance de equivalencia.