La densidad de energía libre debido a los efectos piezoeléctricos es de la forma
[matemáticas] \ matemáticas {F} = a_ {ijk} E_i \ sigma_ {jk} [/ matemáticas]
Si el cristal tiene una simetría, de modo que el cristal se ve exactamente igual bajo, por ejemplo, una rotación de 90 grados alrededor de un eje dado, entonces el tensor [matemático] a_ {ijk} [/ matemático] debe permanecer invariante (¡y distinto de cero! ) bajo esa operación de simetría para que el cristal tenga la posibilidad de ser piezoeléctrico. Si [math] R_ {i ^ \ prime i} [/ math] es una matriz (ortogonal = rotación / reflexión) correspondiente a una simetría del cristal, entonces debemos tener
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[matemáticas] a_ {i ^ \ prime j ^ \ prime k ^ \ prime} = R_ {i ^ \ prime i} R_ {j ^ \ prime j} R_ {k ^ \ prime k} a_ {ijk} = a_ { ijk} [/ matemáticas]
Probablemente esto no sea muy intuitivo, pero ayudará a ver ejemplos de estructuras que pueden ser piezoeléctricas. Un ejemplo simple (¿teórico?) De un cristal piezoeléctrico sería el siguiente: considere una red cuadrada plana con elementos alternos en cada punto, pero suponga que cada elemento en la red está hecho de componentes direccionales (por ejemplo, cada uno consistía en un átomo principal en el punto de la red y un átomo adicional, unido en algún ángulo específico cerca del principal, fuera del plano de la red). Entonces este cristal solo tendría simetrías correspondientes a reflexiones en el plano, por ejemplo, [math] (x, y, z) \ rightarrow (-x, -y, z) [/ math], y un elemento como [math] a_ {zyx} [/ math] sería invariable bajo transformaciones. Este tipo de cristal podría ser piezoeléctrico, probablemente con momentos dipolos que aparecen relacionados con los momentos dipolos asociados con cada par de iones en un punto reticular.
¿Qué tipo de cristal no puede ser piezoeléctrico? Cualquier cristal que tenga un centro de simetría no puede ser piezoeléctrico: considere un cristal simple como la sal de mesa o el cloruro de sodio, que consiste en iones de sodio que se alternan con iones de cloro en una red simple. Si te sientas en cualquier ión sodio, una operación de reflexión sobre cualquiera de los tres ejes del cristal es una simetría del cristal. Como esto significa que, en la ecuación anterior, [math] R_ {i ^ \ prime i} = \ pm 1 [/ math] es un elemento matricial permitido para cualquier índice posible, nos vemos obligados a concluir que [math] a_ { ijk} = 0 [/ math], ya que cada elemento debe ser igual a sí mismo después de cambiar el signo.
