¿Qué habilidades matemáticas se necesitan antes de estudiar la relatividad general?

La relatividad general se ha vuelto mucho más digerible en los últimos 30 o 40 años. Solía ​​ser una clase de posgrado avanzada, pero ahora es una clase de pregrado avanzada.

Las otras respuestas que dicen que se necesita más capacitación son mínimamente engañosas y colocan un obstáculo frente a este material fascinante.

En este momento, la mayoría de estos cursos requieren la comprensión de la relatividad especial en un nivel avanzado de pregrado.

Esto significa la secuencia estándar de introducción matemática de cuatro cursos: 2 semestres introductorios de cálculo, cálculo multivariado y ecuaciones diferenciales.

Aprenderá los conceptos básicos del análisis de tensor y la geometría diferencial sin siquiera darse cuenta.

Este antecedente y curso no le dará una gran comprensión de la relatividad general, pero le dará una idea y le permitirá pensar de manera significativa.

Aprendí los conceptos básicos de la relatividad general por mi cuenta durante las vacaciones de verano de este año. Las matemáticas y la geometría son partes integrales de la teoría misma, y ​​en el caso de la relatividad general, comprender la progresión de las matemáticas a través del estudio de la geometría diferencial forma un camino para realizar plenamente la teoría. De esta manera, comprender la geometría diferencial es un componente formativo en el aprendizaje de la relatividad general.

Para empezar, las matemáticas fueron un poco desafiantes, porque es un tono diferente a cualquier clase de matemática que se enseña a nivel de pregrado, pero dado un poco de tiempo, es una especie de extensión del cálculo vectorial multivariable básico a espacios más generalizados y formas

Antes de comenzar la relatividad general, supongo que está familiarizado con los conceptos utilizados en la teoría especial:

• Transformaciones entre cuadros
• Métrica
• Formalismo de cuatro vectores

Ahora enumeraré un marco simple basado en temas que seguí mientras aprendía la teoría.

GR0: Geometría diferencial I: los fundamentos

• Puesta a tierra básica en formalismo vectorial / codificador y uso de notación de Einstein.
• Introducción a los tratamientos de punto único de vectores y covectores.
• Introducción a la imagen física y algebraica del tensor métrico.
• Introducción a la notación tensorial y las reglas de transformación de varias formas.
• Invarianza del intervalo en la operación del producto punto.
• Conceptos básicos del análisis tensorial. Operaciones tensoriales. Índice de gimnasia. Combinación lineal. Degradado. Divergencia. Contracción
• Análisis tensorial en sistemas de coordenadas generalizadas. Coordinar transformaciones a través de matrices.

GR1: Geometría diferencial II: Geodésica y Curvatura

• Introducción a la derivada covariante. Tratamiento matemático de la derivada covariante. Apreciación física de la derivada covariante.
• Introducción a los símbolos de Christoffel. Definición y propiedades de los símbolos de Christoffel. Cálculo de los símbolos de Christoffel a través de su relación con el tensor métrico.
• Derivada de un vector a lo largo de una curva, utilizando derivada covariante y formalismo de tangente de punto único. Comprensión de la conservación covariante de un vector a lo largo de una curva.
• Diferenciar covariablemente un vector tangente a lo largo de su propia curva. Conservación covariante de la tangente y el nacimiento de la ecuación geodésica. Comprensión de la geodésica como curvas que conservan covariablemente sus propios vectores tangentes.
• Comprender el concepto de transporte paralelo. Usar la ecuación geodésica para cuantificar la variación en los componentes del vector mientras se transporta en paralelo un vector en coordenadas generalizadas.
• Introducción al concepto de curvatura. Transporte en paralelo de vectores a lo largo de curvas cerradas y detección de curvatura, y viendo cómo el axioma de paralelismo de Euclides falla en este tipo de espacio.
• Cuantificación de la curvatura utilizando el Tensor de Riemann mediante el transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva cerrada y midiendo la desviación del componente.
• Entender el tensor de Riemann como un conmutador de dos operaciones derivadas covariantes a lo largo de dos direcciones arbitrarias.
• Estudiar las simetrías del tensor de Riemann. Estudiando las identidades de Bianchi. Formulación del tensor de Ricci y el escalar de curvatura de Ricci.

GR: La física y las ecuaciones de la relatividad general

• Análisis de fluidos en marcos relativistas. Volumen de una forma. Tensor Levi-Civita.
• La definición física y algebraica del tensor de energía de estrés.
• Conceptos de flujo de energía y flujo de momento. Densidad de energía como flujo temporal
• Conservación de energía-momento

• Comprender la ecuación geodésica como la ecuación de movimiento en cualquier sistema de coordenadas generalizado. El primer término actúa como un término de aceleración, y el término con los símbolos de Christoffel muestra cómo se cuantifica la variación de la métrica, mostrando así cómo se produce el movimiento por los cambios en el tensor de la métrica.
• Apreciando el tensor de momento de energía como una colección de 4 vectores de flujo de densidad para cada componente de cualquier momento 4. Comprender así la conservación del momento de energía formulando una especie de ecuación de continuidad para cada componente de 4 momentos.
• Estudio de la dinámica de partículas usando las ecuaciones geodésicas en el límite newtoniano. Proporcionando así una analogía intuitiva a la ecuación de Poisson para la gravedad en este caso, y comenzando a comprender una correlación matemática entre los componentes del tensor métrico y la densidad de masa-energía.
• Extender el tratamiento intuitivo para formular las ecuaciones de Einstein para relacionar el tensor de Einstein y el tensor de energía de estrés. Se llega a la forma del tensor de Einstein asegurando la conservación covariante de ambos lados de las ecuaciones de Einstein.

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Mi estilo de aprendizaje iba tema por tema y examinaba la mayor cantidad de fuentes posible hasta que logré una comprensión perfecta del concepto en una confluencia de la estructura matemática y la visualización física. La relatividad general es hermosa como teoría de la geometría, por lo que creo que los conceptos de comprensión física se vuelven esenciales. Lo anterior enumera los conceptos y áreas, en orden, que combiné para formar una comprensión coherente de la teoría. Usé varios libros en diferentes momentos para ayudar a mi comprensión. Voy a enumerar los libros que más utilicé:

• Misner, Thorne, Wheeler (para el formalismo vector-covector)
• Robert Wald
• Steven Weinberg
• Landau Volumen 2 (solo partes introductorias)
• Schutz (brillante para fluidos y cálculo en coordenadas generalizadas, desde derivadas hasta curvatura) Lo usó más.

Tenga en cuenta que usé todos estos libros en partes. Aparte de esto, creo que las conferencias del profesor Leonard Susskind son un suplemento imprescindible . Seguí diligentemente las conferencias para la mayoría de los conceptos. A menudo no podía comprender un concepto del estilo de un libro, por lo que reflexioné sobre él e intenté encontrar más fuentes hasta que lo conquisté.

Es muy importante no acelerar un concepto, ya que puede conducir a una avalancha de conceptos erróneos y conclusiones erróneas sobre la teoría. Totalmente entendido, la Relatividad General es el resultado más encantador en toda la ciencia. ¡Feliz aprendizaje!

Antes de aprender la relatividad general, debe comprender la relatividad especial. La matemática requerida para eso es una comprensión de cómo funciona la geometría de coordenadas usando álgebra vectorial y transformaciones matriciales. Algunas teorías grupales ayudan a comprender de qué se tratan las transformaciones de Lorentz. Además de las matemáticas, debe ser capaz de superar la idea de que la física se describe por las posibilidades lógicas de las matemáticas y requiere renunciar a nociones intuitivas como la naturaleza absoluta del tiempo. Una comprensión de la lógica matemática ayuda. También se necesitarán los conceptos básicos de la mecánica newtoniana, incluida la energía y la conservación del momento.

Una vez que haya asimilado la relatividad especial, puede entender la relatividad general como una generalización de los mismos principios matemáticos, pero en lugar de álgebra vectorial y de matriz, utiliza el cálculo vectorial y el análisis de tensor. Aprender la relatividad general se trata principalmente de aprender geometría diferencial. Esto se puede hacer a la antigua usanza con notación de componentes e índices como lo hizo Einstein. El resultado matemático más avanzado que necesita para eso como requisito previo es la regla de la cadena de derivadas parciales. Una vez que haya aprendido el cálculo hasta ese momento, puede sumergirse en la relatividad general.

En mi época, todos los elementos matemáticos necesarios como preliminares se enseñaban en la escuela secundaria (es decir, álgebra matricial, álgebra vectorial y cálculo, teoría de grupos, regla de cadena para derivadas parciales y lógica). Me enseñé la relatividad especial y general (es decir, transformaciones de Lorentz, cálculo de tensor, etc.) a partir de allí utilizando las excelentes traducciones de los propios documentos de Einstein disponibles en la prensa de Dover. Después de eso aprendí más sobre topología y notación moderna para geometría diferencial. Estas cosas profundizarán su comprensión, pero no son necesarias para comenzar.

Ayudará si ya conoce el análisis de tensor antes de comenzar a estudiar la relatividad general. De lo contrario, necesitarás encontrar un libro (o curso, o profesor) que enseñe a ambos simultáneamente.

La mayoría de los cursos o textos autónomos sobre relatividad general enseñan la geometría diferencial necesaria para comprender cómo funciona la gravitación. De lo contrario, un pequeño cálculo multivariable y un poco de álgebra lineal son probablemente todo lo que necesita como requisito previo.

No te preocupes tanto por las habilidades que necesitarás. Si estás interesado, simplemente comienza a aprender.

Necesitas saber cálculo tensorial. Este Youtube que encontré es bastante bueno:

Y no dejes que todos los términos que te arrojan te intimiden. Creo que la mayoría de ellos no son tan útiles al final. Pero su obstáculo principal es aprender a dar el salto de la relatividad especial a la relatividad general. Y ahí es donde pasas de transformaciones vectoriales a tensores.