Primero recordemos lo que significa “probabilidades”. La probabilidad de que algo ocurra es la probabilidad de que ocurra dividida por la probabilidad de que no ocurra. Entonces, si la probabilidad = 1/2, las probabilidades = 1. Si la probabilidad = 1/3, las probabilidades = (1/3) / (2/3) = 1/2.
Podemos medir la relación entre la exposición (por ejemplo, fumar) y la enfermedad (por ejemplo, cáncer), mediante un cociente de probabilidades. Estas son las probabilidades de cáncer si fuma, divididas por las probabilidades de cáncer si no fuma. Si fumar y el cáncer están relacionados, esta proporción debería ser mayor que 1.
Pero espere, hay otra razón de probabilidades que podríamos usar para medir esta relación: las probabilidades de ser fumador si tiene cáncer dividido por las probabilidades de ser fumador si no tiene cáncer.
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¿Cuál de estos es mejor? No te molestes en pensarlo, porque un poco de álgebra simple [1] muestra que los dos números son exactamente iguales.
Solo hay un odds ratio .
Hay mucho más que decir sobre las razones de posibilidades, y la mayor parte está en Wikipedia, incluido el “álgebra simple” mencionado anteriormente (https://en.wikipedia.org/wiki/Odds_ratio#Symmetry). Si está buscando un libro, el Análisis de datos categóricos de Agresti tiene algunas buenas secciones sobre este tema.
[1] Aquí está mi versión del álgebra. Deje que [matemática] C [/ matemática] represente cáncer y [matemática] S [/ matemática] represente fumador.
Luego:
[matemáticas] {\ rm Odds} (C | S) = \ frac {P (C | S)} {P (\ neg C | S)} = \ frac {P (C \ cap S) / P (S) } {P (\ neg C \ cap S) / P (S)} = \ frac {P (C \ cap S)} {P (\ neg C \ cap S)} [/ math]
Para calcular [math] {\ rm Odds} (C | \ neg S) [/ math], simplemente sustituimos [math] \ neg S [/ math] por [math] S [/ math] en lo anterior para obtener [ matemáticas] \ frac {P (C \ cap \ neg S)} {P (\ neg C \ cap \ neg S)} [/ matemáticas]
En conjunto, la razón de posibilidades [matemática] \ frac {{\ rm Odds} (C | S)} {{\ rm Odds} (C | \ neg S)} [/ math] es
[matemática] \ frac {P (C \ cap S) P (\ neg C \ cap \ neg S)} {P (\ neg C \ cap S) P (C \ cap \ neg S)} [/ matemática].
Pero esto es completamente simétrico en [matemática] S [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática]: no hay diferencia si intercambias sus roles. Entonces, esto es lo mismo que el “otro” odds ratio
[math] \ frac {{\ rm Odds} (S | C)} {{\ rm Odds} (S | \ neg C)} [/ math].
