La ecuación de Schrodinger para el átomo de hidrógeno debe resolverse para obtener los valores de energía, el momento angular y las funciones de onda correspondientes.
La función de onda es una amplitud de probabilidad de valor complejo, y las probabilidades de los posibles resultados de las mediciones realizadas en el sistema relacionado pueden derivarse de ella.
El cuadrado de la función de onda tiene un significado físico. Da la probabilidad de encontrar el electrón en un cierto punto en el espacio.
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Un orbital es una región del espacio donde hay aproximadamente un 90% de posibilidades de encontrar un electrón.
Los diferentes valores de la función de onda (generalmente denotados por las letras ψ o Ψ) proporcionan orbitales de diferentes energías y formas.
El artículo de Wikipedia sobre el átomo de hidrógeno proporciona algunas explicaciones relevantes sobre este tema:
Ecuación de Schrödinger
La ecuación de Schrödinger permite calcular el desarrollo de sistemas cuánticos con el tiempo y puede dar respuestas analíticas exactas para el átomo de hidrógeno no relativista.
Función de onda
El hamiltoniano del átomo de hidrógeno es el operador de energía cinética radial y la fuerza de atracción de culombio entre el protón positivo y el electrón negativo. Usando la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, ignorando todas las interacciones de acoplamiento de espín y usando la masa reducida [matemática] {\ displaystyle \ mu} [/ matemática], la ecuación se escribe como:
[matemáticas] {\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} – {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}} \ right) \ psi (r, \ theta, \ phi) = E \ psi (r, \ theta, \ phi)} [/ math]
Expandiendo el Laplaciano en coordenadas esféricas:
[matemáticas] {\ displaystyle – {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ parcial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} { \ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ { 2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial \ phi ^ {2}}} \ right] – {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}} \ psi = E \ psi} [/ math]
Esta es una ecuación diferencial parcial y separable que se puede resolver en términos de funciones especiales. Al establecer Z = 1 (para un protón), las funciones de onda de posición normalizadas, dadas en coordenadas esféricas son:
[matemáticas] {\ displaystyle \ psi _ {n \ ell m} (r, \ vartheta, \ varphi) = {\ sqrt {{\ left ({\ frac {2} {na_ {0}}} \ right)} ^ {3} {\ frac {(n- \ ell -1)!} {2n [(n + \ ell)!]}}}} E ^ {- \ rho / 2} \ rho ^ {\ ell} L_ { n- \ ell -1} ^ {2 \ ell +1} (\ rho) Y _ {\ ell} ^ {m} (\ vartheta, \ varphi)} [/ math]
dónde:
[matemáticas] {\ displaystyle \ rho = {2r \ over {na_ {0}}}} [/ matemáticas],
[matemática] {\ displaystyle a_ {0}} [/ matemática] es el radio de Bohr,
[math] {\ displaystyle L_ {n- \ ell -1} ^ {2 \ ell +1} (\ rho)} [/ math] es un polinomio de Laguerre generalizado de grado n – ℓ – 1, y
[math] {\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ vartheta, \ varphi) \,} [/ math] es una función armónica esférica de grado ℓ y orden m . Tenga en cuenta que los polinomios de Laguerre generalizados se definen de manera diferente por diferentes autores. El uso aquí es consistente con las definiciones utilizadas por Mesías y Mathematica.
En otros lugares, el polinomio de Laguerre incluye un factor de [math] {\ displaystyle (n + \ ell)!} [/ Math], o el polinomio de Laguerre generalizado que aparece en la función de onda de hidrógeno es [math] {\ displaystyle L_ {n + \ ell} ^ {2 \ ell +1} (\ rho)} [/ math] en su lugar.
Los números cuánticos pueden tomar los siguientes valores:
[matemáticas] {\ displaystyle n = 1,2,3, \ ldots} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle \ ell = 0,1,2, \ ldots, n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle m = – \ ell, \ ldots, \ ell.} [/ math]
Además, estas funciones de onda están normalizadas (es decir, la integral de su módulo cuadrado es igual a 1) y ortogonales:
[matemáticas] {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} r ^ {2} dr \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ vartheta d \ vartheta \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \; \ psi _ {n \ ell m} ^ {*} (r, \ vartheta, \ varphi) \ psi _ {n ‘\ ell’ m ‘} (r, \ vartheta, \ varphi ) = \ langle n, \ ell, m | n ‘, \ ell’, m ‘\ rangle = \ delta _ {nn’} \ delta _ {\ ell \ ell ‘} \ delta _ {mm’},} [ /matemáticas]
donde [math] {\ displaystyle | n, \ ell, m \ rangle} [/ math] es el estado representado por la función de onda [math] {\ displaystyle \ psi _ {n \ ell m}} [/ math] en Dirac notación, y [math] {\ displaystyle \ delta} [/ math] es la función delta de Kronecker.
Las funciones de onda en el espacio de impulso están relacionadas con las funciones de onda en el espacio de posición a través de una transformada de Fourier
[matemáticas] {\ displaystyle \ phi (p, \ vartheta _ {p}, \ varphi _ {p}) = (2 \ pi \ hbar) ^ {- 3/2} \ int e ^ {- i {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {r}} / \ hbar} \ psi (r, \ vartheta, \ varphi) dV,} [/ math]
que, para los estados vinculados, da como resultado
[matemáticas] {\ displaystyle \ phi (p, \ vartheta _ {p}, \ varphi _ {p}) = {\ sqrt {{\ frac {2} {\ pi}} {\ frac {(nl-1) !} {(n + l)!}}}} n ^ {2} 2 ^ {2l + 2} l! {\ frac {n ^ {l} p ^ {l}} {(n ^ {2} p ^ {2} +1) ^ {l + 2}}} C_ {nl-1} ^ {l + 1} \ left ({\ frac {n ^ {2} p ^ {2} -1} {n ^ {2} p ^ {2} +1}} \ right) Y_ {l} ^ {m} ({\ vartheta _ {p}, \ varphi _ {p}}),} [/ math]
donde [math] {\ displaystyle C_ {N} ^ {\ alpha} (x)} [/ math] denota un polinomio Gegenbauer y [math] {\ displaystyle p} [/ math] está en unidades de [math] {\ displaystyle \ hbar / a_ {0}} [/ math].
Consulte también el siguiente video tutorial educativo sobre las funciones de onda del átomo de hidrógeno:
