¿Depende la dilatación del tiempo en un evento plano de espacio-tiempo (relatividad especial)?

Hmm … entonces la cosa es que la relatividad especial proporciona un aparato para comparar las observaciones entre dos marcos de referencias. Consideremos un ejemplo más simple primero.

Entonces, si usa un marco con el nombre [math] K [/ math], está usando un marco [math] K ‘[/ math] y ambos llevamos nuestros marcos con nosotros mismos y me muevo a lo largo de su eje x positivo a la velocidad [matemática] v [/ matemática]. Un marco es un sistema de coordenadas cartesianas con líneas paralelas a lo largo de los ejes respectivos con relojes distribuidos como se muestra a continuación. Entonces, si un evento ocurre en [matemáticas] (x_1, y_1, z_1) [/ matemáticas], el reloj ubicado en esa posición en el sistema de coordenadas tomaría la medida.

Supongamos que ambos observamos dos eventos sucesivos, digamos el disparo de un cohete y el estallido del mismo cohete. Suponga que el cohete alcanza la velocidad final [matemática] v [/ matemática] instantáneamente. Para simplificar, suponga que los orígenes de nuestros respectivos marcos de referencias son coincidentes y los relojes sincronizados [matemática] ([/ matemática] [matemática] t = t ‘= 0) [/ matemática]. Imagina que soy yo el que se aleja de ti manteniendo el cohete en el origen de mi sistema de coordenadas, esto es posible porque el cohete y yo nos movemos con la misma velocidad [matemática] v [/ matemática].

El tiempo transcurrido entre estos dos eventos será diferente: [matemáticas] \ delta t [/ matemáticas] para usted y [matemáticas] \ delta t ‘[/ matemáticas] para mí. Además, podemos resolver nuestro desacuerdo si hacemos uso de las relaciones dadas por la relatividad especial. La siguiente imagen muestra fotos tomadas en dos instantes de tiempo, a saber, el disparo del cohete y el estallido del cohete.

Pido disculpas por la ecuación, pero esto es a lo que se reduce, esta cantidad es lo que permanece constante independientemente del marco de referencia.

[matemáticas] (ct_1) ^ 2-x_1 ^ 2 = [/ matemáticas] [matemáticas] (ct_1 ‘) ^ 2-0 ^ 2 [/ matemáticas]

[math] t_1 ‘[/ math] resulta ser más pequeño debido al hecho de que el desplazamiento espacial del cohete es [math] 0 [/ math] (lado derecho) en mi marco de referencia. La nota es simplemente [matemática] x_1 = vt_1 [/ matemática] pero en realidad no importa siempre que la cantidad restada de [matemática] (ct_1) ^ 2 [/ matemática] sea una cantidad positiva. En los libros de texto, el marco [matemático] K [/ matemático] en el que ocurre el desplazamiento espacial generalmente se denomina estacionario, mientras que el marco [matemático] K ‘[/ matemático] se denomina marco de referencia móvil . Aunque incluso si imagina que el cuadro [matemática] K ‘[/ matemática] se mueve y usa la ecuación correcta, las cosas no serán diferentes.

Ahora consideremos el caso en el que el cohete comienza en el origen de ambos marcos de referencia (como antes) pero se aleja del origen en el segundo instante (como se supuso en el ejemplo anterior). La nueva ubicación dada por [math] x_1 ‘= x_A [/ math]. Esto se explica por el segundo término en su ecuación.

A2A

Esa ecuación no se resuelve sobre la dilatación del tiempo. Esa ecuación es únicamente para resolver la diferencia de tiempo entre usted y el objeto en cuestión.

[math] t = \ gamma t_o [/ math] responde solo cuando el objeto está en la misma posición que usted. La ecuación anterior que proporcionó es que también tiene en cuenta el hecho de que el tiempo depende de la información.

Imagina esto. Tienes un amigo en Marte. Le pides que te envíe un mensaje que detalla qué hora es allí. Envía un mensaje y dice que son las 4:30. Razonable. Pero espera, ¿qué tan rápido viajó la información para que te notifiques que son las 4:30 en Marte? La luz viaja como máximo a una velocidad de [matemáticas] 3 * 10 ^ 8m / s [/ matemáticas]. Entonces,. debe haber tomado un tiempo para que sepas que allí eran las 4:30. Digamos que le tomó 5 minutos comunicarse con usted, lo que significa que eran las 4:30 5 MINUTOS HACE.

Pero el párrafo anterior solo trata el problema solo si Marte y la Tierra descansaban en un lugar donde el Sol no existe. ¿Qué pasaría si la Tierra y Marte se estuvieran moviendo a velocidades relativas entre sí? Entonces no serían 5 minutos. Sería diferente a eso. Entonces, lo que hace la ecuación es que no nos da un valor de solo dilatación del tiempo, sino también acerca de qué hora es en ese marco de referencia si el tiempo en nuestro marco de referencia es ahora decir [math] t_a [/ math ]

Su ecuación no es específicamente para la dilatación del tiempo, es solo la ecuación de transformación de Lorentz para la coordenada del tiempo. El misterioso término extra con [math] x_A [/ math] en él permite la sincronización diferente de relojes entre los cuadros, lo que hace la diferencia para cualquier evento que no sea en el origen común donde la sincronización se ve obligada a coincidir (es decir, cualquier evento con [math] x_A \ ne 0 [/ math]).

Para decir algo sobre la dilatación del tiempo, debe aplicar la ecuación a un escenario con un reloj. Puede hacerlo de cualquier manera, pero consideremos un reloj estacionario en el cuadro A, entonces [math] x_A = constante [/ math]. La coordenada de tiempo del cuadro A está específicamente diseñada para que un reloj estacionario A permanezca sincronizado con él, por lo que [math] t_A [/ math] es la lectura del reloj. Entonces, si esperamos una cantidad [matemática] \ Delta t_A = t_ {A2} -t_ {A1} [/ matemática] de una hora, eso es lo que pasa el reloj. Si ponemos esos A veces en la transformación de Lorentz, [math] x_A [/ math] se cancela porque es constante y obtenemos [math] \ Delta t_B = \ Delta t_A / \ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2 } [/ math], que es más grande. Entonces, el reloj A está dilatado en el tiempo con respecto a la coordenada de tiempo del cuadro B.

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