Si estamos hablando de un péndulo simple, puede recordar que:
[matemáticas] \ theta = \ theta_m \ sin \ sqrt {\ dfrac {g} {L}} t [/ matemáticas] [donde g es la aceleración gravitacional y L es la longitud del péndulo]
Cómo obtenemos la ecuación anterior es a través de los siguientes pasos:
Digamos que desplazamos el péndulo un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] lejos del equilibrio como se muestra a continuación:
Podemos ver que la fuerza de restauración siempre oscilará alrededor del equilibrio. Si ese es el caso, nuestra fuerza tomará la forma:
[matemática] F_r = -mg \ sin \ theta [/ matemática] [El “-” está ahí para indicar que el péndulo vuelve al equilibrio después de un desplazamiento angular desde la izquierda o la derecha. Sin el “-“, tendríamos un sistema que acelera y no restablece su posición de equilibrio]
Podemos usar una expansión de Taylor para [math] \ sin \ theta [/ math] y aproximar el término para ángulos pequeños donde:
[matemáticas] \ sin \ theta = \ theta [/ matemáticas] [Aproximadamente igual a]
Ahora tenemos:
[matemáticas] F_r = -mg \ theta [/ matemáticas]
Ahora digamos que [math] F = ma [/ math] puesto en una forma angular se convierte en [math] F = m \ alpha L [/ math] [porque [math] \ alpha = \ dfrac {a} {r} [ / math] (“r” en este caso es la longitud del péndulo “L”] así que [math] \ alpha = \ dfrac {a} {L} [/ math])
Establecer las dos ecuaciones de fuerza iguales entre sí nos da:
[matemática] m \ alpha L = -mg \ theta [/ matemática] que se convierte en [matemática] \ alpha = – \ dfrac {g} {L} \ theta [/ matemática]
Como [math] \ alpha = \ dfrac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} [/ math], obtenemos:
[matemática] \ dfrac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} = – \ dfrac {g} {L} \ theta [/ math] que es similar a la ecuación diferencial para Movimiento armónico simple [[math] \ dfrac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = – \ omega ^ 2 x [/ math]]
- Ahora digamos que [math] \ omega = \ sqrt {\ dfrac {g} {L}} [/ math] para un péndulo simple
Al encontrar nuestra solución a la ecuación diferencial, vemos que nuestra solución tiene la forma [math] \ theta = \ theta _m \ sin \ sqrt {\ dfrac {g} {L}} t [/ math] (donde [math] \ theta _m [/ math] es la amplitud del desplazamiento angular del péndulo) porque:
[matemáticas] \ dfrac {d \ theta} {dt} = \ theta _m \ sqrt {\ dfrac {g} {L}} \ cos \ sqrt {\ dfrac {g} {L}} t [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} = – \ theta _m \ dfrac {g} {L} \ sin \ sqrt {\ dfrac {g} {L}} t [/ math]
Esta solución nos da una segunda derivada donde tenemos una constante “-” multiplicada por la función original (exactamente lo que queremos).
Ahora tenemos nuestra solución para nuestro péndulo oscilante:
- [matemáticas] \ theta = \ theta _m \ sin \ sqrt {\ dfrac {g} {L}} t [/ matemáticas]
También sabemos que otro sistema se comporta de manera muy similar a nuestro péndulo simple. Este sistema es una masa en un resorte que tiene una solución en forma de:
- [matemáticas] f (x) = A \ sin \ sqrt {\ dfrac {k} {m}} t [/ matemáticas] [donde “m” es la masa y “k” es la constante del resorte]
- Ahora digamos que [math] \ omega = \ sqrt {\ dfrac {k} {m}} [/ math] para una masa en un resorte
Podemos establecer los dos términos [math] \ omega [/ math] iguales entre sí y obtener
[matemáticas] \ sqrt {\ dfrac {g} {L}} = \ sqrt {\ dfrac {k} {m}} [/ matemáticas]
Ahora tenemos:
[matemáticas] T = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {L} {g}} [/ matemáticas]
Después de toda esa larga explicación, finalmente llegamos a la conclusión de que si queremos cambiar el período sin cambiar la longitud del péndulo, la otra opción es alterar la aceleración gravitacional que impulsa nuestro sistema.
