¿Cómo podemos ver que la energía se conserva en la relatividad general?

En lo que respecta a la materia (materia no gravitacional, como los campos electromagnéticos y de otro tipo), la conservación de la energía se conserva en la Relatividad general y se expresa mediante la divergencia en desaparición del tensor energía-momento (o tensor tensión-energía-momento ), que es el lado derecho de la ecuación de campo de Einstein.

El problema es con la energía del campo gravitacional. La energía gravitacional no se conserva en la Relatividad general, que matemáticamente se manifiesta en que la cantidad que debería haber sido el tensor de energía-momento del campo gravitacional no es realmente un tensor sino un pseudo-tensor. Uno puede hacer que la energía del campo gravitacional se desvanezca en cualquier área del espacio-tiempo simplemente eligiendo las coordenadas de Riemann.

Desde el punto de vista de la teoría del campo, el problema está enraizado en la desafortunada elección de la conexión Levi-Civita (conexión métrica sin torsión) como la fuerza del campo, porque no es una cantidad covariante. De la condición se deduce que una derivada covariante de la métrica se desvanece globalmente en la variedad. La conexión Levi-Civita se expresa en un sistema de coordenadas como símbolos de Christoffel, que son, nuevamente, no covariantes. Como resultado, la cantidad que describe la energía del campo gravitacional tampoco es covariante; No es un tensor sino un pseudotensor. Este pseudotensor de energía-momento del campo gravitacional se desvanece en las coordenadas riemannianas, en las cuales los símbolos de Christoffel se desvanecen. Esto se llama el problema de energía y fue descubierto por primera vez por Kretschman en 1917.

Todo este problema se puede evitar fácilmente relajando las condiciones métricas impuestas arbitrariamente en la geometría del espacio-tiempo. La geometría, en la que una derivada covariante de la métrica no es idénticamente cero, se denomina espacio métrico-afín (L, g). En esta geometría, a diferencia de la geometría riemanniana, la métrica y la conexión son totalmente independientes. Esto resuelve el problema de energía porque la fuerza del campo gravitacional ya no es una conexión métrica LC, que no es covariante, sino un tensor de no métrica, que es un tensor verdadero. De manera similar, el momento de energía del campo gravitacional ahora se describe mediante un tensor verdadero, que es completamente covariante. Ya no puede hacer desaparecer la energía mediante una elección arbitraria de un sistema de coordenadas. Las ecuaciones de campo siguen siendo las mismas que en la Relatividad general, por lo que esta no es una teoría alternativa de la gravitación, sino una reformulación completamente covariante de la Relatividad general, en la que se conserva la energía gravitacional.

El mismo resultado puede obtenerse desde el punto de vista de la teoría de campo de indicador reemplazando todas las derivadas parciales por derivadas covariantes con respecto a una conexión afina independiente. Como resultado, obtienes ecuaciones de campo de Einstein, en las que la fuerza del archivado se identifica con el tensor de no métrica, como se indicó anteriormente.

Dejando a un lado las matemáticas, desde el punto de vista de la física, el problema energético, en mi opinión, surge de la confusión entre los sistemas de coordenadas y los sistemas de referencia. Los primeros no tienen significado físico: las coordenadas definen una forma arbitraria de etiquetar puntos en la variedad. Es como nombrar calles en la ciudad. Cambie los nombres o números y nada cambia: todas las casas permanecen en el mismo lugar que antes. El principio de covarianza general no es un principio físico sino una necesidad matemática. El marco de referencia, por otro lado, es un concepto profundamente significativo que afecta la física y los resultados de medición. Se supone que el principio de la relatividad general significa que la física es la misma en todos los marcos de referencia. Desafortunadamente, en la relatividad general, los marcos de referencia se identifican erróneamente con los sistemas de coordenadas y el principio de la relatividad general se reduce al principio de covarianza general, que, como dije antes, no es un principio físico en absoluto. Un marco de referencia define un múltiple diferencial con conexión métrica y afín independiente: un espacio métrico afín (L, g). El marco de referencia se describe mediante la conexión Affine, que define derivadas covariantes en este múltiple, y la no métrica describe la gravedad.

En aras de la divulgación completa, esta no es la opinión aceptada entre la mayoría de los físicos teóricos de la actualidad, esta es mi opinión personal (para más detalles, consulte mis documentos sobre el problema de la energía en la relatividad general y la gravedad como no métrica: relatividad general en el espacio métrico-afín ( Ln, g)), así que tómalo con un grano de sal.

La conservación de la energía en la relatividad general se manifiesta como la naturaleza libre de divergencia del tensor de estrés-energía-momento: [matemática] \ nabla_ \ mu T ^ {\ mu \ nu} = 0 [/ matemática]. (La energía, en sí misma, no es un concepto relativista; su valor depende del observador y / o la elección del sistema de coordenadas. Pero este tensor generaliza el concepto de energía y momento, en una forma que es independiente de la elección del sistema de coordenadas .)

Sin embargo, esta ecuación engañosamente simple esconde algunos detalles fascinantes y también un poco de historia.

La historia: Einstein sabía que el tensor de tensión-energía-momento no tiene divergencia cuando buscaba la forma correcta para sus ecuaciones de campo gravitacional. No obstante, le tomó varios comienzos falsos antes de toparse con el tensor (también libre de divergencia) que hoy en día se llama tensor de Einstein, y que forma el lado izquierdo de las ecuaciones de campo de Einstein. De hecho, en el caso del vacío electromagnético (es decir, el espacio que contiene nada más que el campo electromagnético libre) Hilbert lo derrotó, lo que llevó a un siglo de debate sobre la prioridad.

En cuanto a los detalles … la naturaleza libre de divergencia del tensor de tensión-energía-momento parece sugerir que no se intercambia energía entre los campos materiales y el campo gravitacional. Esto tiene sentido, ya que en cualquier punto del espacio-tiempo siempre podemos encontrar un sistema de coordenadas que, en ese punto, es un sistema de caída libre (es decir, sin curvatura, sin campo gravitacional). Pero entonces … ¿qué pasa con las ondas gravitacionales, que se sabe que transportan energía? (Y que, de hecho, se descubrieron por primera vez indirectamente en la década de 1970, a través de mediciones de tiempo de púlsares binarios, lo que indica una pérdida de energía a través de la radiación gravitacional).

Parte de la respuesta radica en el hecho de que la llamada divergencia covariante del tensor tensión-energía-momento ya incluye también la gravedad, implícitamente. Y parte de la respuesta es que la energía del campo gravitacional no es local; es decir, no tiene sentido hablar de su energía en un punto dado en el espacio-tiempo (recuerde, siempre podemos elegir un sistema de coordenadas en el que el campo gravitacional desaparezca en ese punto), solo en un volumen finito de espacio, pero el volumen La integral necesaria para esto es en sí misma un concepto problemático en el espacio-tiempo curvo.

Sin embargo, volviendo a la pregunta original, la conservación de la energía está ciertamente viva y bien en la relatividad general, en la forma de la divergencia que se desvanece del tensor de estrés-energía-momento, y desempeñó un papel clave en el proceso que condujo al descubrimiento de Einstein. ecuaciones de campo.