Descargo de responsabilidad: no estoy 100% seguro de las implicaciones para la cosmología ya que realmente nunca estudié cosmología. Sé un poco sobre el espacio de Sitter de la conjetura dS / CFT, así que intentaré colorear mi respuesta en esa dirección.
Hay dos consideraciones principales que “naturalmente” conducen al espacio de Sitter:
- Tenemos mucha gran evidencia experimental de la existencia de una constante cosmológica positiva. En otras palabras, las fuentes de energía del tensor energía-momento contribuyen a ‘más’ que solo la curvatura del espacio-tiempo: también contribuyen de forma lineal a la métrica. Coloquialmente (y de manera simplificada), se podría decir que esto significa que “el universo se está expandiendo”
- Esta contribución adicional a las ecuaciones de Einstein hace que el conjunto no lineal de PDE incluidas en las ecuaciones de Einstein sea un poco más difícil de resolver. Para tener un primer ejemplo, nos gustaría una cantidad ‘máxima’ de simetría.
Matemáticamente, estas dos condiciones significan lo siguiente:
- Las ecuaciones de Einstein ([matemática] G = c = 1 [/ matemática]) en alguna tabla local de nuestra variedad de espacio-tiempo se convierten
[matemáticas] G_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} = 8 \ pi T_ {ab} [/ matemáticas] (1)
- ¿Cuáles son las simetrías de esta ecuación? Recuerde que una simetría de una acción [matemática] \ matemática {S} (x ^ {\ mu}, \ dot {x} ^ {\ mu}) [/ matemática] es un grupo de Mentiras [matemática] G [/ matemática] acción que deja la acción invariable, por ejemplo, [math] \ mathcal {S} (g \ cdot x ^ {\ mu}, \ g \ cdot \ dot {x} ^ {\ mu}) = \ mathcal {S} (x ^ {\ mu}, \ dot {x} ^ {\ mu}), \ forall g \ en G [/ math]. En el caso de la acción de Einstein-Hilbert que determina (1), tenemos:
[matemática] \ matemática {S} (g_ {ab}) = \ int_ {M} \ sqrt {- \ det g_ {ab}} (\ matemática {R} – \ Lambda) [/ matemática]
donde [math] \ mathcal {R} [/ math] es el escalar Ricci. Cualquier simetría de esta acción debe dejar el escalar de Ricci y el determinante de la métrica invariante. En otras palabras, debemos preservar las distancias locales a través de isometrías. Por lo tanto, las simetrías de la acción son isometrías.
Ahora se puede demostrar (con un poco de esfuerzo), que los vectores de matanza [0] del múltiple [math] (M, g_ {ab}) [/ math] generan las isometrías. Por eso queremos tantas isometrías como sea posible. Ahora, si nuestra variedad es [matemática] n + 1 [/ matemática] -dimensional, con [matemática] n [/ matemática] dimensiones espaciales y [matemática] 1 [/ matemática] dimensión temporal, entonces el grupo de isometría de [math] M [/ math] debe estar contenido en el grupo de isometría de [math] \ mathbb {R} ^ {1, n} [/ math], que es [math] \ mathsf {SO} (1, n) [/matemáticas]. Como de costumbre (para física), [math] \ mathsf {SO} (1, n) [/ math] realmente significa la parte ortócrona del grupo (por ejemplo, el componente conectado que contiene la identidad). Algunos autores denotan esto [math] \ mathsf {SO} ^ {+} (1, n) [/ math] para diferenciarlo de todo el grupo ortogonal especial de Lorentz. Editar: Como señaló Leo C. Stein, cometí un error notablemente tonto en el cálculo de la simetría. Recuerde que [math] \ mathsf {SO} (1, n) [/ math] es el conjunto de matrices [math] n + 1 \ times n + 1 [/ math] que preservan la forma cuadrática [math] \ mathsf { diag} (+ 1, -1, \ ldots, -1) [/ math]. Estas matrices son simétricas y con un poco de álgebra lineal se puede ver que [math] \ text {dim} (\ mathsf {SO} (1, n)) = \ frac {1} {2} n (n + 1) [/matemáticas]. Por lo tanto, tenemos simetrías [matemáticas] \ frac {1} {2} n (n + 1) [/ matemáticas]. Ver [4]. Además, dado que [math] \ mathsf {SO} (1, n) [/ math] no es compacto (y conserva una métrica indefinida, que no es una métrica en el sentido de un espacio métrico), no todos estos Las simetrías son isometrías. De hecho, las isometrías corresponderán a cosas que preservan la parte negativa de la forma cuadrática (en mi elección de firma), por lo tanto, hay isometrías [matemáticas] \ frac {1} {2} n (n-1) [/ matemáticas]. Nuevamente, mis disculpas por el estúpido error anterior.
Dadas estas condiciones, se puede definir el espacio de Sitter como la solución máximamente simétrica a las ecuaciones de Einstein de vacío ( [matemática] T_ {ab} = 0 [/ matemática] ) con constante cosmológica positiva. Solo para completar, tenga en cuenta que el espacio Anti de Sitter es la solución máximamente simétrica a las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica negativa .
Finalmente, una nota rápida: el espacio de Sitter (Anti de Sitter) tiene una curvatura escalar positiva (negativa) constante y, por lo tanto, no es hiperbólica (hiperbólica).
Voy a terminar esto mañana y escribir un poco más sobre la correspondencia dS / CFT (que potencialmente tiene implicaciones para las teorías de la inflación) y una métrica explícita (incrustada) para el espacio de Sitter incrustado en [math] \ mathbb {R} ^ {1, n} [/ math] … ¡pero ahora son las 3am y es hora de dormir! Para más emoción, ver [1,2,3]
Actualización: Ok, olvidé que prometí una explicación de dS / CFT. Aquí va:
En el proceso de investigar los orígenes microscópicos de la relación de Hawking entre la entropía y la superficie de un agujero negro,
[matemáticas] S = \ frac {A} {4G} [/ matemáticas] (1)
varios teóricos de cuerdas se toparon con interesantes dualidades. En particular, Maldacena notó que bajo T-duality (Mirror Symmetry, ver [5]) que uno podría transformar la teoría de cuerdas IIB en [matemáticas] AdS_5 \ veces S ^ 5 [/ matemáticas] a IIA en [matemáticas] dS_5 \ veces H ^ 5 [/ math] donde [math] S ^ 5 [/ math] es la esfera 5 y [math] H_5 [/ math] es el espacio hiperbólico en 5 dimensiones. Durante este proceso, se dio cuenta de que en espacios que son asintóticamente Anti de Sitter, uno puede calcular tanto la carga central de una Teoría de campo conforme (CFT) en el límite de AdS como el punto [math] n [/ math] funciones En otras palabras, un CFT específico surge directamente de la elección de la métrica de límite en el infinito futuro. Hablando en términos generales, uno podría ver esto como una pila de branes [matemática] n [/ matemática] [matemática] D ^ 3 [/ matemática] (p. Ej., 3 submanifolds de espacio-tiempo 10 dimensiones) sentados en el futuro infinito [7] que representan donde vive el CFT (por ejemplo, a través de cadenas que conectan las branas). Brown y York [6] generalizaron esto a tiempos espaciales de AdS arbitrarios y mostraron que no es necesario usar la teoría de cadenas para llegar a este resultado. Efectivamente, si uno ‘nota’ que el grupo de isometría de la futura métrica de límite infinito está contenido en el grupo conforme de [math] \ mathbb {C} ^ 2 [/ math], entonces uno puede llegar a un CFT. La teoría de cuerdas simplemente proporciona algunos ejemplos concretos de situaciones en que esto puede ocurrir, aunque hay una variedad de físicos de alta densidad y materia condensada que han encontrado otros ejemplos; ver, por ejemplo, algunas de las obras de Subir Sachdev [7]. Hay muchas implicaciones cosmológicas, una de las más importantes es que esto proporciona una explicación microscópica potencial de la fórmula de entropía con la que comencé . Según tengo entendido, el hecho de que haya un CFT en el límite implica que tenemos una fuente de entropía (al menos desde el punto de vista clásico), por lo que la fórmula (1) es plausible.
Ahora tenemos algunos problemas que abordar:
- ¿Qué significa ser asintóticamente Anti de Sitter? Brown y York [6] proporcionan una definición que es bastante fácil de entender. Supongamos que nuestro espacio es [math] dS_3 [/ math] y que tenemos un gráfico para nuestro lightcone pasado . [math] dS_3 [/ math] es un múltiple de 3 y, como tal, necesitamos especificar 3 coordenadas reales para que esto funcione. Considere una coordenada compleja (2 coordenadas reales) [matemática] z [/ matemática] y una coordenada real [matemática] t [/ matemática] (que puede interpretarse localmente como tiempo). Entonces tenemos las siguientes condiciones en nuestra métrica como [math] t \ downarrow – \ infty [/ math] (por ejemplo, yendo hacia el infinito pasado):
[matemática] g_ {z \ bar {z}} = \ frac {1} {2} e ^ {- 2t} + \ matemática {O} (1) [/ matemática]
[matemáticas] g_ {zz} = \ matemáticas {O} (1) [/ matemáticas]
[matemática] g_ {tt} = -1 + \ matemática {O} (e ^ {2t}) [/ matemática]
[matemáticas] g_ {tz} = \ matemáticas {O} (e ^ {2t}) [/ matemáticas]
En términos generales, esto dice que a medida que avanzamos hacia el infinito similar al tiempo pasado, nuestra métrica es algo así como [matemáticas] ds ^ 2 \ sim e ^ {- 2t} dz d \ bar {z} – dt ^ 2 [/ matemáticas], que es un Anti de Sitter métrico.
- ¿Cómo obtenemos la carga central? Strominger [3] considera el vector de asesinato conforme,
[matemática] X = U \ partial_z + \ frac {1} {2} e ^ {2t} U ” (z) \ partial _ {\ bar {z}} + \ frac {1} {2} U ‘\ partial_t [/matemáticas]
para cualquier función holomórfica (analítica) [matemática] U [/ matemática].
Muestra que el cambio de la métrica bajo la acción Mentira de [matemáticas] X [/ matemáticas] (por ejemplo, [matemáticas] \ matemáticas {L} _ {X} (g) [/ matemáticas]) solo depende de [matemáticas] U ” ‘[/ math] y solo no es cero bajo un cambio infinitesmal en [math] U [/ math]. Como tal cuando [math] U ” ‘= 0 [/ math], obtenemos generadores infinitesmales para el grupo de isometría [math] \ mathsf {SL} (2, \ mathbb {C}) [/ math] (bueno, realmente el álgebra de mentiras asociada a este grupo). Esto nos muestra que el grupo de isometría de [math] dS_3 [/ math] está contenido en el grupo conforme de [math] \ mathbb {C} ^ 2 [/ math] . Esto es importante porque es lo que nos permite decir que nuestro tensor de energía-momento está relacionado con la carga central del CFT y que ciertos solitones de ecuaciones tipo Klein-Gordon en este espacio-tiempo son realmente operadores de campo locales [9]. [10] Luego especifica una acción masiva,
[matemáticas] S = S_ {EH} + S_ {límite, 1} + S_ {límite, 2} + S_ {a granel} [/ matemáticas]
donde la primera acción de límite es la acción de Einstein-Gauss-Bonnet restringida al límite y la segunda se agrega para garantizar que el tensor de momento de energía sea finito. Ahora, por definición, bajo una transformación conforme, el tensor energía-momento de esta acción (restringido al límite) es proporcional a la carga central. Se puede demostrar que esto tiene una forma simple para que obtengamos una carga central de,
[matemáticas] c = \ frac {3 \ ell} {2G} [/ matemáticas]
- ¿Cómo obtenemos las funciones de punto n? Consideramos una solución masiva [matemática] \ phi [/ matemática] a una determinada ecuación de onda, y al igual que en el caso AdS / CFT, afirmamos que es dual para un operador en el límite. Como se mencionó anteriormente, esto se justifica por el hecho de que las isometrías de dS están contenidas en el grupo conforme, por ejemplo, [math] \ mathsf {SL} (2, \ mathbb {C}) \ subset \ text {Conf} (\ mathbb {C}) [/ matemáticas]. Usando la función de Green de esta ecuación de onda, podemos obtener una forma explícita para este operador. Los detalles son más o menos los mismos que en la correspondencia AdS / CFT
Resumen: Podemos usar el espacio de Sitter como una forma de convertir algunos CFT fuertemente acoplados en la elección de una métrica de límite en dS. Personas como Subir Sachdev han usado esto para la materia condensada [7] y personas como Shamit Kachru usan este método para estudiar los orígenes microscópicos de la inflación [11]
[0] Los vectores de eliminación se definen mediante la ecuación [math] \ mathcal {L} _ {X} g = 0 [/ math], donde [math] \ mathcal {L} [/ math] es la derivada de Lie. Intuitivamente, esto dice que si observamos los cambios de la métrica bajo el flujo de [math] X [/ math], encontramos que la métrica no cambia (hasta la isometría)
[1] La mejor referencia GR moderna para esto es, por supuesto, la Relatividad General de Wald , http://books.google.com/books/ab …
[2] “Precursores” de la correspondencia dS / CFT: http://arxiv.org/abs/hep-th/0110007
[3] El documento original de Strominger sobre la correspondencia dS / CFT: http://arxiv.org/abs/hep-th/0106113
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Ind …
[5] http://arxiv.org/abs/hep-th/9606040
[6] http://arxiv.org/abs/gr-qc/9209012
[7] http://iopscience.iop.org/1742-5… . Esto está algo relacionado con ¿Qué son los semimetales topológicos ?; Es una visión más teórica sobre estos objetos lo que hace explícitas las propiedades topológicas del CFT
[8] No infinito nulo: en AdS, un vector nulo (por ejemplo, la luz) puede viajar al infinito espacial en un tiempo finito (las partículas masivas no pueden hacer esto)
[9] Ver Polchinski, Capítulo 2 para ver cómo el tensor de energía-momento está relacionado con la carga central y el álgebra de Virasoro y la revisión AdS / CFT ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9905111 ) para saber cómo la inclusión [math] \ mathsf {SL} (2, \ mathbb {C}) \ subset \ text {Conf} (\ mathbb {C}) [/ math] implica que los solitones son operadores de campo.
[10] Dicho de otra manera, esto dice que [math] T ^ {ab} [/ math] es uno de los generadores anómalos de Virasoro.
[11] El análogo AdS / CFT: http://iopscience.iop.org/1126-6 …
